Cálculo Órbitas Planetarias

Cálculo de las Órbitas Planetarias por Ing. Andrés Esteban de
la Plaza
ÍNDICE:
1. REPRESENTACIÓN DE VECTORES.
2. ACELERACIÓN EN COORDENADAS POLARES.
3. FUERZAS CENTRALES Y GRAVITACIÓN.
4. RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL PROBLEMA.
5. CONSIDERACIONES PARA LAS ÓRBITAS ELÍPTICAS.
6. CÁLCULO DE LA POSICIÓN EN LA ÓRBITA ELÍPTICA.

7. CONSIDERACIONES SOBRE :
o
o
o

LA CONSTANTEDE GAUSS
EL MOVIMIENTO DIURNO MEDIO
LA ECUACIÓN DE KEPLER

8. CÁLCULO DE ÓRBITAS NO ELÍPTICAS:
o
o

ÓRBITAS PARABÓLICAS
HIPERBÓLICAS.

1. REPRESENTACIÓN DE VECTORES
LA posición de un punto P en el espacio puede ser definida por un vector posición
con origen en un centro O de coordenadas ortogonales rectangulares.
Definiendo en esta terna xyz, los versores (vectores unitarios) de losejes,
obtenemos respectivamente : el versor como versor de la dirección x, el versor
como el versor de la dirección y, y el versor como el versor de la dirección z. Así,
cualquier vector definido en uno de estos ejes estará; representado por el producto
de un escalar igual al módulo y de un versor de la dirección
⇒

.

Por lo tanto, podemos
descomponer el vector

en sus

componentesortogonales

,

e en un sistema de centro O: (
proyecciones de en los ejes x,
y, e z ) de forma que
.
También podemos representar
este vector de forma matricial:

Pero esta no es la única representación posible para el punto P. Podemos
imaginar un plano que contenga el vector y el centro O, de manera que, aunque
aún continuemos en el espacio tridimensional, la representación de é eshecha
en un plano, y este plano será un plano complejo o sea, el eje x será real, y el eje
y será imaginario, o sea:

La ventaja de proceder así está dada por la
posibilidad de representar un número
complejo en su forma exponencial, como un
vector. Se observa fácilmente que si
definimos el versor para la dirección x, la
dirección de r estará definida por un versor
tal que

donde

,entonces:

de forma que:

que es la expresión del radio vector en coordenadas polares.

2. ACELERACIÓN EN COORDENADAS POLARES
Podemos ahora proceder a derivar
respecto del tiempo
para encontrar la aceleración. Antes vamos a calcular la derivada con respecto al
tiempo de , pues es una función de θ, o sea que = (θ):

vamos a calcular entonces la primera derivada de , o sea :

vamos acalcular ahora la segunda derivada de , o sea :

donde:

3. FUERZAS CENTRALES Y GRAVITACIÓN

Inicialmente vamos a deducir las fórmulas que determinan las trayectorias de los
cuerpos que se encuentran sujetos a la atracción de fuerzas centrales, en el caso
particular de la ley de gravitación universal, o sea

.
De acuerdo con la figura 1 tenemos:
Donde el punto m está sometido a
lafuerza:

es el versor (vector unitario) de la
dirección de y:

t = tiempo
MS = masa del cuerpo central
m = masa del objeto

La resolución de este problema debe proporcionar las siguientes funciones:

Las expresiones para la aceleración en función de las componentes normal y
radial de la aceleración son:

Pero en los sistemas de fuerzas centrales sabemos que la aceleración normal esnula ⇒ an=0, de forma que la aceleración será:

y recordando que la ecuación diferencial general del movimiento central en este
caso es:

4. RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL PROBLEMA
La ecuación diferencial general del problema puede ser descompuesta en dos
particulares:

tenemos entonces:

mar =

man=
de esta forma la ecuación diferencial que tenemos que resolver será:[1]

, pero acordándonos de la

pero no conocemos las relaciones
ecuación [2] obtenemos que:

an = 0
⇒

o sea

pero
De

podemos obtener

, o sea:

haciendo pasaje de términos en la [2 a] obtenemos:

integrando ahora la [3]:

por lo tanto ⇒
que no es otra cosa sino la velocidad areolar del punto m en su trayectoria como
podemos observar en la figura 2:
•

Si la...