Cálculo Combinatorio

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TÉCNICAS DE CONTEO
CÁLCULO COMBINATORIO

OBJETIVOS:
•

Presentar algunas técnicas basadas en fórmulas para determinar, sin enumeración directa, el número de
colecciones o arreglos de elementos de un conjunto finito dado que satisfacen una determinada característica o
condición.

•

Hacer uso del Teclado Virtual mth y la Aplicación Principal de la calculadora ClassPad 300 PLUSpara
activar comandos que permiten el cálculo de variaciones, permutaciones y combinaciones de elementos de un
conjunto finito dado.

INTRODUCCIÓN:
Normalmente se nos presentan interrogantes que llevan implícito el problema de
establecer cuántos elementos de un conjunto dado satisfacen una determinada
característica. Por ejemplo: en Venezuela, las nuevas placas para la circulación deautomóviles en el territorio nacional, presentan un código como el mostrado en la
Figura 1, este arreglo alfanumérico consiste en dos letras, seguidas de tres dígitos,
que a su vez están seguidos de otras dos letras. Surge la siguiente interrogante:
¿cuántas placas pueden grabarse? Las técnicas de conteo nos permiten, sin
enumeración directa, determinar cuántas colecciones o arreglos, con ciertascaracterísticas o condiciones predeterminadas, pueden formarse con los elementos
de un conjunto finito dado.

Figura 1

En este material encontrará ejemplos, problemas y ejercicios que permitirán al
lector ejercitarse en el manejo de las distintas fórmulas que permiten un conteo
rápido y por otro lado, algo esencial en estos problemas, el desarrollo de la habilidad
para caracterizarcorrectamente los arreglos de elementos que se desean contar y no
incurrir en el error típico de considerar como arreglos distintos, a dos que son iguales
de acuerdo a la característica que satisfacen o de incluir en el conteo otros que no la
satisfacen.

¿En qué consiste el conteo rápido?
El producto de números enteros positivos nos provee una manera
rápida e intuitiva de contar.
Por ejemplo, sitenemos una cuadrícula de 15 por 7 cuadrados,
digamos que contamos a lo largo de la cuadrícula 15 cuadrados y 7
cuadrados a lo ancho, el número total de cuadrados en la cuadrícula será
15 ⋅ 7 = 105 . Esto es, por cada cuadrado que seleccionemos a lo largo,
encontraremos 7 distribuidos a lo ancho. En consecuencia, por los 15
cuadrados que hay a lo largo, encontraremos distribuidos 15 ⋅ 7 = 105a lo
ancho.

Figura 2

En el caso del problema de las placas de los vehículos, podemos formular una solución análoga. Supongamos
que el número de letras del alfabeto que se utilizan en la codificación es 26 (sin la letra Ñ) y para la parte numérica los
10 dígitos decimales. Supongamos además que, tanto las letras como los números, pueden repetirse. Para calcular
en número de placas quepueden grabarse, procedemos de la siguiente manera:
En la codificación (ver Figura 1), para colocar la primera letra tenemos 26 opciones de elección (las 26 letras del
alfabeto), al igual que para la segunda. Por cada letra elegida para la primera, podemos elegir 26 para la segunda, de
manera que el número de maneras como se puede formar el primer grupo de dos letras es 26 ⋅ 26 . Por otra parte,1

para colocar el primer número de la codificación, se puede elegir uno de los 10 dígitos, por cada dígito elegido para el
primero se puede elegir 10 para el segundo; por lo tanto, el número de parejas de dígitos que se pueden formar es
10 ⋅ 10 . Pero por cada pareja formada hasta el momento, se tienen 10 maneras de elegir el tercer número, luego, por
las 10 ⋅ 10 parejas formadas tendremos10 ⋅ 10 ⋅ 10 ternas que conforman la parte numérica de la placa. Finalmente,
siguiendo el mismo proceso, el número de parejas que conforman el segundo grupo de parejas de letras en la
codificación es también 26 ⋅ 26 .
El conteo final del número de placas se calcula de la siguiente manera: por cada pareja elegida para el primer
grupo de letras en la codificación, podemos elegir 10 ⋅ 10 ⋅ 10...