CÁLCULO DE LÍMITES

ÍNDICE pág.
Introducción………………………………………………………………………………..3
3.1 Límite de una sucesión………………………………………………………………4
3.2 Límite de una función real…………………………………………………………..6
3.3 Cálculo de Límites……………………………………………………………………8
3.4 Propiedades de los limites …………………………………………………………11
3.4 Límites laterales…………………………………………………………………….16
3.5 Límites infinitos y límites al infinito………………………………………………..203.7 Asíntotas……………………………………………………………………………..23
3.8 Funciones continua y discontinua en un punto y en un intervalo…………….27
3. 8 Tipos de discontinuidades……………………………………………………….32
Conclusión.………………………………………………………………………………35
Fuentes de Información……………………………………………………………….36








INTRODUCCIÓN
El primer contacto con límites concierne a límites de funciones.
El límite de una función esun concepto fundamental del análisis matemático, un caso de límite aplicado a las funciones.
Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a c, independientemente de lo que ocurra en c
Aunque implícita en el desarrollo del Cálculo de los siglos XVII y XVIII,la notación moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta. Sin embargo, su trabajo no fue conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y parece haber expresado la esencia de la idea, pero no de una manera sistemática. La primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dadapor Weierstrass en los 1850 y 18603 y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con límites.
La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debida a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908.







3.1 LÍMITE DE UNA SUCESIÓN.
A. Si tomamos una cantidad variable x, a la que le asignamos los siguientes valores, se formauna sucesión de número crecientes:
1, 2, 3, 3.5, 3.9, 3.99, 3.999, 3.9999…
Es posible que esta misma variable tome valores decrecientes:
5, 4.2, 4.1, 4.01, 4.001, 4.0001…
Al analizar los ejemplos anteriores observamos que la variable x tiende a una constante a, en este caso 4, como un límite. Se dice entonces que la variable se aproxima al límite 4; es decir, que x tiende a 4. Este razonamientose expresa así:
x  4 o lím x = 4
Vemos como poco a poco la diferencia de valores de x con a se reduce y siempre es posible obtener una diferencia tan pequeña como se quiera.

B. Se dice que la variable x se hace infinita cuando llega a ser mayor en valor absoluto que cualquier otro número dado, no importa que tan grande sea.
La sucesión de los números naturales 1, 2, 3, 4… n, n + 1… notiene límite, pero como se mantiene mayor que un número natural cualquiera, por grande que se tome, se indica para estos casos que la sucesión tiende a más infinito.
Si los valores de x e conservan positivos, se escribe x  +∞ y si se conservan negativos x  -∞.

C. Los símbolos ∞, +∞, -∞ no deben considerarse como números porque se utilizan para indicar cierto comportamiento de una variable o deuna función y se emplean solo por conveniencia.
D. Cuando una variable toma valores cada vez más pequeños, y se acerca a cero, decimos que la variable es infinitamente pequeño. Esto se expresa así:
x  0 o lím x = 0
observa el ejemplo siguiente:
1, 0.5, 0.4, 0.3, 0.2, 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001…
En este caso aceptamos que se valor tiende a cero.

Si se sitúan sobre una escala numérica lospuntos correspondiente a los términos de la sucesión
1, 3/2, 5/3, 7/4, 9/5,…, 2 – 1/n,…
Se observa que se van aproximando al punto 2 de manera que existen puntos de la sucesión cuya distancia a 2 es menor que cualquier cantidad dada por pequeña que sea. Por ejemplo, el punto 2001/10001 y todos los siguientes distan de 2 una



Cantidad menor que 1/1000; el punto 20000001/10000001 y todos...