Cálculo de volúmenes

Cálculo de volúmenes

La integral definida es un método rápido para calcular áreas, volúmenes, longitudes, etc.,lejos de los procesos lentos y laboriosos que empleaban los griegos. En física, su empleo es constante, al estudiar el movimiento, el trabajo, la electricidad.
Al introducir la integración, vimos que el área es solamente una de las muchas aplicaciones de la integral definida. Otraaplicación importante la tenemos en su uso para calcular el volumen de un sólido tridimensional.
Si una región de un plano se gira alrededor de un eje E de ese mismo plano, se obtiene una región tridimensional llamada sólido de revolución generado por la región plana alrededor de lo que se conoce como eje de revolución. Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesosde producción. Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos.
Existen distintas fórmulas para el volumen de revolución, según se tome un eje de giro paralelo al eje OX o al eje OY . Incluso a veces, es posible hallar el volumen de cuerpos que no son de revolución.
Volúmenes de revolución: El Método de los discos
Si giramos una región del plano alrededor deun eje obtenemos un sólido de revolución. El más simple de ellos es el cilindro circular recto o disco, que se forma al girar un rectángulo alrededor de un eje adyacente a uno de los lados del rectángulo. El volumen de este disco de radio R y de anchura w es:
Volumen del disco = pR2w

Para ver cómo usar el volumen del disco para calcular el volumen de un sólido de revolución general,consideremos una función continua f (x) definida en el intervalo [a,b], cuya gráfica determina con las rectas x = a , x = b, y = 0, el recinto R. Si giramos este recinto alrededor del eje OX , obtenemos un sólido de revolución.
Se trata de hallar el volumen de este cuerpo engendrado por R. Para ello hay que seguir un proceso similar al realizado en la definición de integral definida.



Elegimos unapartición regular de a,b:

Estas divisiones determinan en el sólido n discos cuya suma se aproxima al volumen del mismo. Teniendo en cuenta que el volumen de un disco es pR2w , la suma de Riemann asociada a la partición, y que da un volumen aproximado del sólido es:





Siendo :




Si el número de cilindros parciales aumenta, su suma se aproxima cada vez más al volumen delsólido; es decir:



Por tanto, recordando la definición de integral definida de Riemann se obtiene que:





Volúmenes de revolución: El Método de las arandelas
El método de los discos puede extenderse fácilmente para incluir sólidos de revolución con un agujero, reemplazando el disco representativo por una arandela representativa. La arandela se obtiene girando un rectángulo alrededorde un eje. Si R y r son los radios externos e internos de la arandela, y w es la anchura de la arandela, entonces el volumen viene dado por:

Volumen de la arandela =

Entonces, generalizando de forma análoga a como se hizo en el método de los discos, si tenemos dos funciones continuas f (x) y g(x) definidas en un intervalo cerrado [a,b], con 0 £g(x) £ f (x), y las rectas x = a y x = b , el volumen engendrado se calcula restando los sólidos de revolución engendrados por los recintos de ambas funciones, es decir:








Si las funciones se cortan, habrá que calcular los volúmenes de los sólidos engendrados en cada uno de los subintervalos donde se puede aplicar el método anterior.

Método de secciones conocidas
En esteapartado veremos cómo se calcula el volumen de algunos cuerpos geométricos cuando conocemos el área de las bases de los cilindros parciales en que hemos dividido el sólido. Con el método de discos, podemos hallar el volumen de un sólido que tenga una sección circular cuya área sea DA = pR2.
Podemos generalizar este método a sólidos de cualquier forma siempre y cuando sepamos la fórmula del área de...