Cálculo del Número Pi

Divulgaciones Matem´
aticas Vol. 10 No. 2(2002), pp. 149–159

C´
alculo del n´
umero π mediante
funciones trigonom´
etricas
Calculation of π by mean of trigonometric functions
Di´omedes B´arcenas (barcenas@ciens.ula.ve)
Olga Porras (porras@ciens.ula.ve)
Departamento de Matem´
atica
Facultad de Ciencias, Universidad de los Andes
M´erida 5101, Venezuela
Resumen
Mediante el uso delas funciones trigonom´etricas seno y tangente se da
una demostraci´
on elemental de la existencia del n´
umero π, as´ı como un
c´
alculo aproximado del mismo.
Palabras y frases clave: n´
umero π, funciones trigonom´etricas, seno,
tangente.
Abstract
By mean of the trigonometric functions sinus and tangent an elementary
proof of the existence of number π is given, as well as an approximateevaluation of it.
Key words and phrases: number π, trigonometric functions, sinus,
tangent.

1

Introducci´
on

En la Escuela Primaria se nos ense˜
no
´ que la longitud de la circunferencia de
un c´ırculo es igual a 2πr, donde r es el radio de la circunferencia y π = 3,1416.
Se nos ense˜
no
´ tambi´en que el a
´rea de un c´ırculo es igual a πr 2 , donde r es el
radio y π =3,1416.
Armados con esta informaci´
on proced´ıamos al c´
alculo de a
´reas de c´ırculos
y longitudes de circunferencias y los pocos afortunados -si hab´ıa alg´
un afortunado en aquel auditorio infantil - capaces de memorizar las f´
ormulas de a
´rea y
Recibido 2001/11/29. Aceptado 2002/11/08.
MSC (2000): Primary 97-01; Secondary 33B10.

150

Di´
omedes B´
arcenas, Olga Porraslongitud, pod´ıan eventualmente calcular el a
´rea de un c´ırculo o la longitud de
su circunferencia una vez conocido el radio sin que nadie - ¿o quiz´
as alguien? se preocupara por el origen y la presencia de ese numerito m´
agico: π = 3,1416.
M´
as tarde, en la Escuela Secundaria, estudiamos en mayor profundidad
los temas de a
´rea y longitud. All´ı aprendimos que el per´ımetro o longitud
deun pol´ıgono es igual a la suma de las longitudes de sus lados y que el
a
´rea de un pol´ıgono es igual al semiproducto del per´ımetro por la apotema;
preocup´
andonos poco, m´
as bien nada, por el significado de estas f´
ormulas
matem´
aticas.
En esta etapa de nuestra formaci´
on dimos un salto cualitativamente grande
en el estudio del n´
umero π al aprender que este n´
umero fueprofundamente
estudiado por Arqu´ımedes mientras investigaba precisamente las nociones de
a
´rea y longitud.
Arqu´ımedes, el m´
as famoso de los matem´
aticos de la antig¨
uedad, conoc´ıa
las f´
ormulas de a
´rea y longitud para el caso de pol´ıgonos y se propuso conocer
f´
ormulas an´
alogas para el caso de c´ırculos y circunferencias; en la b´
usqueda
de su objetivo, Arqu´ımedes serepresent´
o la circunferencia como sucesiones de
pol´ıgonos regulares inscritos y circunscritos en dicha circunferencia.
Para calcular el a
´rea de un c´ırculo, Arqu´ımedes construy´
o pol´ıgonos regulares inscritos y circunscritos en la circunferencia del c´ırculo y observ´
o que
a medida que duplicaba el n´
umero de lados de los pol´ıgonos, aumentaba el
a
´rea de los pol´ıgonosinscritos, mientras disminu´ıa el a
´rea de los pol´ıgonos
circunscritos.
Mediante este procedimiento observ´
o tambi´en que a medida que aumentaba el n´
umero de lados, las a
´reas de los pol´ıgonos inscritos y circunscritos se
acercaban a un mismo valor. Este valor com´
un lo defini´
o como a
´rea del c´ırculo
la cual es igual a πr 2 . Utilizando pol´ıgonos regulares de 96 lados,Arqu´ımedes
logr´
o la siguiente estimaci´
on de π:
3,1416 < π < 3,1442;
la cual no es la primera aproximaci´
on de π ya que en La Biblia se estima π
con un valor de 3 y, de acuerdo con M.Kline [4] y Courant Robbins ([2]), los
egipcios usaron una aproximaci´
on de π igual a 3.16.
Tampoco terminaron con Arqu´ımedes los c´
alculos aproximados del n´
umero
π; pues seg´
un [1], el matem´
atico...