Cálculo diferencial

“A los matemáticos les gusta jugar con cosas serias”

Unidad Número Uno: Límite de funciones en una variable

Objetivos Generales de la Unidad:

1. Interpretar el significado vernáculo y matemático de Límite.

2. Calcular el límite de funciones en una variable.

3. Dominen e interpreten las diferentes técnicas para el cálculo de límite de funciones en una variable.

4. Calculenlímites unilaterales, infinitos y al infinito.

Noción intuitiva de límite: La idea de límite distingue al cálculo de otras ramas de las matemáticas. De hecho, podríamos definir al cálculo como un estudio de los límites.

La palabra límite se en el lenguaje diario, común. Ejemplo: “Estoy acercándome al límite de mi paciencia”.
¿Qué significa la oración o frase anterior? ¿Tiene que ver con elcálculo?
Analicemos los ejemplos siguientes en donde se emplea la palabra límite:
a. Velocidad máxima 45 km/h.
b. Límite de velocidad 45 km/h.
c. Nicaragua limita al sur con Costa Rica.

Todos estos ejemplos nos dan una idea de lo que significa límite, aunque no tienen relación con el cálculo.

Noción intuitiva de límite: Considérese la función determinada por la fórmula:

f(x) = x3 – 1
x– 1

Nótese que no está definida para x = 1, ya que este punto f(x) tiene la forma 0/0 que carece de significado. (Es indeterminada), pero ¿Qué sucede a f(x) cuando x se aproxima a 1?, ¿se aproxima f (x) a algún número específico cuando x tiende a 1?.
Elaboremos una tabla para ver que sucede cuando x se aproxima a 1.

X
Y = x3 – 1
x – 1
1.25
3.813
1.1
3.310
1.01
3.030
1.0013.003


1.000



0.999
2.997
0.99
2.970
0.9
2.710
0.75
2.313

Toda la información que hemos reunido parece apuntar a la misma conclusión: f(x) tiende a 3 cuando x tiende a 1. En símbolos matemáticos, se escribe así:
Lím x3 – 1 = 3
x  1 x – 1

Esto se lee: “El límite cuando x tiende 1 de (x3 – 1)/(x – 1) es 3”

Sabiendo factorizar una diferencia de cubos, podemosobtener más y mejor evidencia.

Lím x3 – 1 = Lím (x – 1)(x² + x + 1) = Lim (x² + x + 1) = 1² + 1 + 1 = 3
x  1 x – 1 x  1 (x – 1) x  1

Nótese que (x – 1)/(x – 1) = 1, siempre y cuando x  1.

Para estar seguros de que estamos en la pista correcta, necesitamos una clara comprensión del significado de la palabra límite.

Definición: (Significado intuitivode límite).
Decir que Lim f(x) = L significa que cuando x está cerca, pero difiere de c, f(x) está cerca de L.
x  c
La noción de límite está asociada con el comportamiento de una función cerca de c, no en c.

¿Qué tan cerca es “cerca”?

Aclaremos la idea, mediante algunos ejemplos:

Ejemplo 1.

Encuentre el Lim (4x – 5)
x  3
Solución: Cuando x está cerca de3, 4x – 5 estará cerca de: (4.3) – 5 = 7

Ejemplo 2. Encuentre el límite de la función:

Lim x² - x – 6 = 3² - 3 – 6 = 0/0, quiere decir que no está definido para x = 3, entonces,
x  3 x- 3 3 – 3
Factorizando tenemos que:

Lím x² - x – 6 = Lim (x – 3)(x + 3) = Lim (x + 2) = 5
x  3 x – 3 x  3 (x – 3)

Ejemplo 3: Encuentre elLim x – 1
x  1

Utilizando operaciones con radicales (la Conjugada), vemos que:
Lim x – 1 = 2
x  1 x-1

Teoremas sobre límites

“Una idea que no se hace palabra, es una mala idea; y una palabra que no se hace acción, es una mala palabra”

Teorema A (Teorema principal sobre límites) Sea n un entero positivo, K una constante, y f  g funciones conlímites en c, entonces:

1. Lim K = K
x  c

2. Lim x = c
x  c

3. Lim K f(x) = K Lim f(x)
x  c x  c

4. Lim [f(x) + g(x)] = Lim f(x) + Lim g(x)
x  c x  c x  c

5. Lim [f(x) - g(x)] = Lim f(x) - Lim g(x)
x  c x  c x  c...