Cálculo- Limites

LÍMITES
Por:

Ing. Mario René De León García.

1.

IDEA INTUITIVA DEL CONCEPTO DE LÍMITE

El concepto de límite es la base del cálculo diferencial e integral, pero en sí mismo es una herramienta de análisis muy útil
para el análisis de funciones en un valor particular de la variable independiente, principalmente cuando la grafica de la función
presenta discontinuidades. A continuaciónse presentan los casos más usuales de análisis, para algunas funciones particulares.

1.1.

DISCONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN POR LA PRESENCIA DE UN AGUJERO:
Dada la siguiente función:

Esta es una función racional, cuyo dominio es todos los reales con excepción de
se obtiene:

. Al valuar la función en este valor

Para entender este concepto observe la siguiente grafica:

y7
6
5
4
32
1

-2

-1

0

se aproxima a 1 por valores a su izquierda
0.5
1. 75

En

0.9
0.99
0.99999
2. 71
2. 9701
2. 99997
se aproxima a
,
por valores inferiores a 3.
no está definido, por tanto:

1

2

x

se aproxima a 1 por valores a su derecha
1
???
Conclusión:
Si
Entonces

1.00001
3. 00003

En

1.001
1.1
1.5
3. 003001
3. 31
4. 75
se aproxima a
,
porvalores superiores a 3.
no está definido, por tanto:

2

Límites

A los límites descritos previamente, se les llama “límites unilaterales”, como ambos son iguales entonces el límite absoluto
de la función en
es:

Por lo anterior, se puede concluir que el límite de una función para un valor
es el valor
función cuando
toma valores muy cercanos a
, tanto por la izquierda como por laderecha, es decir:

al que se acerca la

Siempre y cuando los límites unilaterales existan y sean iguales.

1.2.

DISCONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN POR SALTO EN LA GRAFICA
La función que se presenta a continuación tiene como dominio a todos los reales con excepción de

.

Al valuar en
la función toma la forma indeterminada
, lo que significa la presencia de una discontinuidad.
Observela grafica de la función y el análisis de la misma para el punto indicado:

y

2

1

Función equivalente:
-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

x

-1

-2

se aproxima a 2 por valores a su izquierda
1.8
–1
En

1.9
1.999
1.9999
–1
–1
–1
es igual a
.
no está definido, por tanto:

se aproxima a 2 por valores a su derecha
2
???
Conclusión:
SiEntonces

2.00001
1
En

2.0001
2.001
2.01
1
1
1
es igual a
.
no está definido, por tanto:

En el ejemplo anterior, los límites unilaterales por la izquierda y por las derecha no son iguales, por lo tanto se dice que el
límite absoluto de la función no existe en
, ya que por ambos extremos no se hacercan al mismo valor de .

Preparado por: Ing. Mario René De León García

3Límites

EJERCICIO 1:
Las discontinuidades por salto en una función son muy comunes que ocurran en funciones definidas por partes. Analice la
siguiente función:

1.3.

DISCONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN POR ASÍNTOTA VERTICAL

Este tipo de discontinuidades se presentan principalmente en funciones racionales y en algunas trigonométricas.
Utilizando el mismo procedimiento, analice la siguiente funciónen
.

Observe que el dominio de la función son todos los reales con excepción de
, que es el valor donde precisamente
se presenta la discontinuidad en esta función. Al valuar la función en este valor se obtiene la forma indefinida
, lo que
causa un comportamiento asintótico en la vecindad de
. Observe el análisis de la función a continuación:

y

20

10

-8

-7

-6

-5

-4-3

-2

-1

1

2

3

4

x

-10

-20

se aproxima a – 2 por valores a su izquierda

En

– 2.1
– 2.001
– 2.0001 – 2.00001
-19
-1,999
-19,999
-199,999
toma valores cada vez más pequeños,
es decir,
decrece sin límite.
no está definido, por tanto:

se aproxima a – 2 por valores a su derecha
–2
???
Conclusión:
Si
Entonces

– 1.99999
– 1.999
– 1.99
–...