cálculo vectorial

CALCULO VECTORIAL

ING. ELECTRONICA 2011

Unidad 1
Algebra de vectores.
1.1 Definición de un vector en R2, R3 y su Interpretación
geométrica.

Un vector es un objeto matemático con dirección y magnitud. La palabra vectores se
refiere a los elementos de cualquier Rn. En R1 = R el vector es un punto, que llamamos
escalar. En R2 el vector es de la forma
y en R3 el vector es de la formaEn R2:

la suma de dos vectores se define por: sean a y b vectores en R2, entonces

el producto escalar se define por: sea α Є R y a un vector en R2, entonces:

Significado geométrico de la suma de vectores y el producto escalar en R2. (fig. 1.1)

1



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(a1 + b1, a2 + b2)
a

b

Fig.1.1

Observemos que si
vectores

,

entoncesla

suma

de

los

El cual se obtiene trasladando la representación de los vectores a y b. De manera, que se
puede obtener a + b dibujando un paralelogramo. A esta regla de suma se le llama la
regla del paralelogramo. (fig. 1.2)

αa

a

Fig.1.2
2


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Para el producto escalar αa, se puede observa que si
se alarga o se acorta elvector a por un factor α. Si
se invierte la dirección del vector a.
En R3:
La suma de vectores se define por: sean a, b Є R3, entonces

El producto escalar se define por: sea α Є R y a un vector en R3 , entonces

Sean a y b vectores en Rn, tal que
𝑛
𝑛 . El producto interno de a y b representado por a ∙ b ó , es el
escalar que se obtiene multiplicando los componentes correspondientes de losvectores y
sumando luego los productos resultantes, esto es:
Definición:

𝑛

𝑛

Los vectores a y b se llaman ortogonales si su producto interno es igual a cero.
Definición: Sea
𝑛 un vector en Rn, la norma (magnitud o longitud)
del vector, representada de la forma │a│ ó ║a ║, se define como la raíz cuadrada no
negativa de
Esto es:

2
2
2
a  a  a  a  a12  a2  a3  ...  an1.2 Introducción a los campos escalares y vectoriales.
Campo:
Si se asigna a cada punto del espacio el valor de una función unívoca de punto, se dice que
este espacio, como base o soporte de dicha magnitud, es un campo. (fig. 1.3)
Si la magnitud es escalar hablamos de un campo escalar.
Si la magnitud es vectorial hablamos de un campo vectorial.
En general tanto los campos escalares como losvectoriales son función del punto y del
tiempo. Cuando los cambios no dependen del tiempo se dice que son estáticos o
estacionarios.


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Los campos escalares se visualizan mediante las superficies de nivel o iso-escalares, que
son el lugar geométrico de los puntos del espacio para los cuales la función escalar toma
el mismo valor, por ejemplo:Cuando estas superficies se cortan por un plano se convierten en las llamadas curvas de
nivel o isoescalares, que según la magnitud física que representan reciben un nombre
particular: las isotermas se definen por:

Las isóbaras se definen por:

fig. 1.3
Los campos vectoriales representan magnitudes de carácter vectorial:
éstos cabe citar el campo de velocidades en un fluido:
𝑡

EntreDe manera análoga a los campos escalares, se dice que un campo vectorial es
estacionario cuando la magnitud característica del mismo no es función del tiempo, como
por ejemplo el gravitatorio: g
y el electrostático:
Entre los campos vectoriales son especialmente importantes los campos de fuerzas.
Se dice que en una cierta región del espacio hay un campo de fuerzas cuando en todo
punto dela misma hay una fuerza que toma un valor diferente para cada punto y en cada
instante de tiempo. A partir de ahora nos referiremos a los campos estáticos de fuerzas.

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1.3 La geometría de las operaciones vectoriales.

S uma de v ec tor es

Para sumar dos vectores libres y se escogen como representantes dos vectores tales
que el extremo...