Cálculo I

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE

´
CALCULO
I
PROBLEMAS RESUELTOS

Rodrigo Vargas

Santiago de Chile
2007

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Prefacio
Este libro con problemas resueltos pretende sirvir como texto para estudiantes en un primer curso de C´alculo. As´ı espero facilitar el estudio y
la comprensi´on de los estudiantes. Grupos especiales, estudiantes avanzados, lectores que deseen unapresentaci´on m´as completa y los alumnos, por
as´ı decirlo, normales que busquen lecturas complementarias pueden consultar
el libro “An´alisis Real” volumen 1 de Elon Lages Lima que trata los mismos
t´opicos con un enfoque m´as amplio.
La parte mas importante de este libro son sus problemas resueltos, que
sirven para fijar ideas, desarrollar algunos temas esbozados en muchos textos
de c´alculo ycomo oportunidad para que el lector compruebe lo sencillo de
algunas soluciones. Naturalmente, me gustar´ıa que el lector s´olo consultase
las soluciones despu´es de haber hecho un serio esfuerzo para resolver cada
problema. Precisamente es este esfuerzo, con o sin ´exito, el que nos conduce
a buenos resultados en el proceso de aprendizaje.
Los problemas que el lector encontrar´a se basan enlas ayudant´ıas del curso de c´alculo en la Pontificia Universidad Cat´olica de Chile, el cual est´a dirigido a estudiantes de Bachillerato.

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´Indice general
1. N´
umeros Reales

1

2. Sucesiones de N´
umeros Reales

37

3. L´ımites de Funciones

65

4. Funciones Continuas

75

5. Derivadas

83

6. F´
ormula de Taylor y Aplicaciones de la Derivada

v103

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Cap´ıtulo 1
N´
umeros Reales
1.1. Pruebe que para cada a, b ∈ R se tiene que −(a + b) = (−a) + (−b).
Soluci´
on: Si a, b ∈ R entonces a + b ∈ R y existe un elemento −(a + b)
tal que
(a + b) + (−(a + b)) = 0 .
Por otro lado, usando la asociatividad y conmutatividad de la suma,
obtenemos
(a + b) + (−a) + (−b) = (a + (−a)) + (b + (−b)) = 0
entonces (−a) + (−b) es inversoaditivo de (a + b), de la unicidad del
inverso aditivo, se concluye que
−(a + b) = (−a) + (−b) .
1.2. Pruebe que para cada x ∈ R, −(−x) = x.
Soluci´
on: Si x ∈ R existe −x ∈ R tal que
x + (−x) = 0
y adem´as para −x existe elemento inverso −(−x) ∈ R tal que
(−x) + (−(−x)) = 0
de la unicidad del inverso aditivo concluimos que
−(−x) = x .
1

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§1. N´
umeros Reales

1.3. Sea x ∈ R,pruebe que x · 0 = 0 · x = 0.
Soluci´
on: Notemos que
x · 0 + x = x · 0 + x · 1 = x(0 + 1) = x · 1 = x
sumando −x a ambos lados de la igualdad x · 0 + x = x, obtenemos
x · 0 = 0.
1.4. Pruebe que si ab = 0 entonces a = 0 o b = 0.
Soluci´
on: Si b = 0 entonces podemos multiplicar por b−1 y obtenemos
a · b · b−1 = 0 · b−1 ⇒ a · 1 = 0 ⇒ a = 0 .
1.5. Si x, y ∈ R, pruebe que
x · (−y) = (−x) · y= −(x · y) .
Soluci´
on: Notemos que
x · (−y) + x · y = x · (−y + y) = x · 0 = 0
sumando −(x · y) a ambos miembros de la igualdad x · (−y) + x · y = 0
se obtine
x · (−y) = −(x · y) .
Analogamente, para (−x) · y = −(x · y).
1.6. Pruebe que para cada a, b ∈ R, (−a)(−b) = ab.
Soluci´
on: Si a, b ∈ R entonces ab ∈ R y existe elemento inverso
−ab ∈ R tal que
ab + (−ab) = 0 .
Entonces(−a)(−b) =
=
=
=
=

(−a)(−b) + ab + (−ab)
(−a)(−b) + (−a)b + ab
(−a)((−b) + b) + ab
(−a) · 0 + ab
ab .

3

C´alculo I - Rodrigo Vargas
1.7. Pruebe que si 0 < x < y entonces y −1 < x−1 .

Soluci´
on: Observemos primero que x > 0 ⇒ x−1 = x(x−1 )2 > 0.
A continuaci´on multiplicamos ambos miembros de la desigualdad x < y
por x−1 y −1 se tiene que y −1 < x−1 .
1.8. Pruebe que ||x| −|y|| ≤ |x − y| para cualquier x, y ∈ R.
Soluci´
on: Usando la desigualdad tri´angular obtenemos
|x| = |x − y + y| ≤ |x − y| + |y| ⇒ |x| − |y| ≤ |x − y| .
De manera similar, |y| − |x| ≤ |x − y| ⇒ −|x − y| ≤ |x| − |y|. Por
transitividad obtenemos que:
−|x − y| ≤ |x| − |y| ≤ |x − y|
o equivalentemente
||x| − |y|| ≤ |x − y| .
1.9. Dados x, y ∈ R, si x2 + y 2 = 0 pruebe que x = y = 0....