cálculo

Índice

I Cálculo Diferencial

1.- Límites ……………………………………..……………………………………… 3
1.1 Límites de sucesiones ………………………………..…………………… 3
1.2 Límites de funciones ……………………………………………………. 4

2.- Derivadas ..…………………………………………………….……………….. 6
2.1 La pendiente de una curva en un punto dado ..……………………... 6
2.2 Cálculo de esta pendiente ………………………………………..… 6
2.3 La derivada de una función………..………………………………… 7
2.4 Reglas de derivación de funciones polinómicas ………………………. 7
2.5 derivada de la suma de dos funciones y del producto por escalar ……. 8
2.6 Rectas tangentes y normales ………..………………………………… 8
2.7 Reglas de derivación de funciones trigonométricas ..……………………... 9
2.8 Derivadas de orden superior ………..………………………………… 10

3.- Otras reglas de derivación ……………………………………………………. 10
3.1 Laregla del producto ……………………………………………………. 10
3.2 La regla del cuociente ……………………………………………………. 11
3.3 La regla de la cadena ……………………………………………………. 11
3.4 Reglas de derivación de funciones logarítmicas y exponenciales ……. 12

4.- Aplicaciones de la regla de la cadena ………..………………………………… 13
4.1 La derivada de la relación implícita ………..………………………………… 13
4.2 La derivada de la función inversa………..………………………………… 13
4.3 Las derivadas de las funciones inversas trigonométricas ..………….… 14
4.4 La razón de cambio o tasa de variación ………….……………………... 14

5.- Análisis gráfico de funciones ………..………………………………… 16
5.1 Puntos de intersección con los ejes coordenados ..……………………... 16
5.2 Crecimiento y decrecimiento de una función ..……………………... 16
5.3 La curvatura de una función ………..………………………………… 165.4 Los puntos estacionarios ……………………………………………………. 17
5.5 Los puntos de inflexión ……………………………………………………. 18
5.6 La segunda derivada ……………………………………………………. 18
5.7 El criterio de la segunda derivada ………..………………………………… 18
5.8 Las asíntotas de una curva ……………………………………………………. 19

6.- Problemas de aplicación ……………………………………………………. 20
II Cálculo integral

1.- La primitiva de una función……………………………………………………. 21

2.- La integral indefinida ……………………………………………………. 21
2.1 Definición ……………………………………………………. 21
2.2 Algunas propiedades ……………………………………………………. 21

3.- Fórmulas de integración ……………………………………………………. 22
3.1 Fórmulas de integración polinómicas ………….……………………... 22
3.2 Fórmulas de integración trigonométricas ………….……………………... 23
3.3 Fórmula de integración exponencial ………….……………………... 234.- La integral definida ……………………………………………………. 24

5.- Área bajo y entre curvas ……………………………………………………. 24

6.- Técnicas de integración ……………………………………………………. 27
6.1 Integración por sustitución ………..…………………………………. 27
6.2 Integración por partes ………..…………………………………. 28
6.3 Integración utilizando funciones trigonométricas inversas ……………… 29

7.- Problemas de aceleración y velocidad………..…………………………………. 29

8.- Cálculo de área con respecto al eje y ………..…………………………………. 30

9.- Ecuaciones diferenciales ……………………………………………………. 31

10.- Volúmenes de revolución ……………………………………………………. 32


III Respuestas ……………………………………………………. 34


IV Bibliografía ……………………………………………………. 35

I Cálculo Diferencial

1.- Límites

1.1 Límites de sucesiones

Observemos la siguiente sucesiónu1 = 0,3
u2 = 0,33
u3 = 0,333
u4 = 0,3333

¿Hacia dónde se acerca (tiende) un a medida que n va creciendo?

Es claro que un tiende a cuando n tiende a infinito.

Esto se anota de la siguiente manera :

Es decir, la sucesión , tiene límite, que es .
En este caso también se puede decir que la sucesión converge a

Observación : no todas las sucesiones convergen. Haysucesiones que no convergen, por ejemplo .

u1 = 2
u2 = 5
u3 = 8
u4 = 11

En este caso diremos que esta sucesión diverge.

Algunos ejemplos de sucesiones que convergen :

i) Toda suma geométrica infinita tal que
un = a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + …. + arn-1


ii) Sea
Se vio el año pasado que


1.2 Límites de...