Cálculo

UNIDAD 1
PROCESOS INFINITOS Y LA NOCIÓN DE LÍMITE
Propósitos. Explorar diversos problemas que involucren procesos infinitos a
través de la manipulación tabular, gráfica y simbólica para propiciar un
acercamiento al concepto de límite.
Aprendizajes. Al finalizar la unidad el alumno:
• Utiliza procedimientos aritméticos para resolver problemas que involucran
procesos infinitos.
• Reconocecaracterísticas de los procesos infinitos utilizando diversas
representaciones: material concreto, diagramas, gráficas, tablas o explicaciones
verbales.
• Reconoce un proceso como una acción que produce un resultado, este
proceso será infinito cuando se pueda producir siempre un resultado más.
• Distingue un proceso infinito de uno que no lo sea.
• Resuelve problemas de diversos contextos queinvolucran en su solución,
procesos infinitos.
• Utiliza las representaciones gráfica, tabular y algebraica de un proceso infinito
para analizar su comportamiento en cuanto a: cómo cambia la variable, qué
comportamiento sigue, cuáles son los valores siguientes, qué tan parecidos
son y a la larga, cómo son éstos.
Introducción.
En esta primera unidad centraremos nuestra atención en elconcepto de límite,
para lo cual iniciaremos con el estudio de procesos infinitos, su tendencia,
estabilización, reconocimiento de patrones, predicción de comportamientos y
resultados, mediante el tratamiento tabular, gráfico y algebraico. Los ejemplos y
situaciones que trataremos de procesos infinitos nos servirán para ir
construyendo el concepto de límite, así como la compresión y manejo de sunotación.
1
= 0.3333 ...
3
expresión la podemos igualar con una suma:

Analicemos la siguiente igualdad:

La parte derecha de la

0.3333... = 0.3 + 0.03 + 0.003 + 0.0003 + 0.00003 +…
1
como el resultado de un proceso
3
que involucra realizar infinidad de sumas, por lo que podemos hablar de que
queda expresada como un proceso infinito.

Así pues, se puede expresar a la fracciónClaro que también se tiene un proceso cuando tenemos 4 + 0 + 0 + 0 +..., lo
cual obviamente es igual a 4. Este proceso tiene como diferencia con respecto
al anterior, que cada nueva suma que se realiza no modifica el resultado. Si
escribimos: 10 = 1 + 2 + 3 + 4, o bien, 10 = 1 + 9, podemos afirmar que se trata
también de procesos, pero de ninguna manera de procesos infinitos.

1

Así pues,un proceso es una acción que produce un resultado, dicho proceso
será un proceso infinito cuando se pueda producir siempre un resultado más.
Ahora, te invitamos a realizar cuidadosamente cada una de las siguientes
Actividades. Te recomendamos que después de hacerlas, o bien mientras las
efectúas, intercambies puntos de vista con tus compañeros, y corroboren sus
resultados.
Actividad 1.
Unchapulín se encuentra en el extremo de un camino de un metro de largo. De
un salto llega a la mitad del camino, en el salto siguiente llega a la mitad de lo
que le faltaba y así sucesivamente, ¿cuánto camino recorre en cada salto? ¿Si
suponemos que siempre le es posible saltar, recorrerá todo el camino?
1.
2.
3.
4.

Traza un dibujo que represente lo que va ocurriendo.
Después del primersalto ¿cuánto camino ha recorrido?
¿Cuánto recorrió en el segundo salto y cuánto lleva recorrido?
Para anotar lo que encontraste, continuar con el proceso y analizar lo que
ocurre completa la tabla siguiente:
Número de
salto (n)
1

Longitud de camino recorrido
en ese salto (an)
1
2

Longitud total del
camino recorrido (Sn)

113
+ = = .75
244

2
3
4
5
6
7
8

5.Generaliza y obtén una fórmula para an.
6. Ahora, con el fin de obtener la fórmula para Sn te sugerimos que
compruebes y completes lo siguiente:
1
113
11
17
, …, Sn =
S1 = , S2 = + 2 = , S3 = + 2 + 3 = , S4 =
2
22
4
22
2
8
Cuando obtengas el último resultado, verifica la fórmula para los valores de
n que encontraste en la tabla.

2

7. ¿Si fuera posible que el chapulín pudiera seguir...