Cálculo

4.1 Conceptos de incremento y de razón de cambio. La derivada de una función.
Derivada de una función en un punto. Dada la función f(x) continúa en el intervalo abierto I, se define la derivada en el punto “a” como:Sí en lugar de considerar h el incremento de la variable independiente x lo sustituimos por Δx tenemos que la definición queda:En el caso de que hagamos h=x-a tenemos a+h=x, y ladefinición nos queda de la siguiente forma: |
Función derivada. Dada la función f(x) continúa en el intervalo abierto I denominamos función derivada a:Sí en lugar de considerar h el incremento de la variable independiente x lo sustituimos por Δx tenemos que la definición queda: |
4.2 La interpretación geométrica de la derivada.
La derivada de una función en un punto representa el valor de lapendiente de la recta tangente en dicho punto. La pendiente está dada por la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva (función) con el eje de las abcisas, en ese punto.
La derivada de una función mide el coeficiente de variación de dicha función. Es decir, provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio. El coeficiente de cambio indica lo rápido que crece(o decrece) una función en un punto (razón de cambio promedio) respecto del eje de un plano cartesiano de dos dimensiones. Por ejemplo si tomamos la velocidad de algo, su coeficiente es la aceleración, la cual mide cuánto cambia la velocidad en un tiempo dado. |

4.3 Concepto de diferencial. Interpretación geométrica de las diferenciales.
La forma en que hemos abordado el concepto de derivada,aunque existen varios conceptos, fue el encontrar la relación de la pendiente de la línea recta y´ =f ´(x) que era tangente a la función. Para un punto en particular podemos llegar a la definición de la derivada f ‘(x) y vimos que f ‘(x1) es la pendiente de la recta tangente a la curva en x=x1.El diferencial se puede tomar en el sentido geométrico como la elevación de la tangente desde el punto enque se toma el diferencial.Recuérdese que la derivada de la función en el punto es la pendiente de la recta tangente a la función en el punto, como sabemos que la tangente de un ángulo es igual al cociente entre el cateto opuesto (incremento de y) y el cateto contiguo (incremento de x) de un hipotético triángulo rectángulo, sólo hay que despejar el incremento de y que equivale a nuestrodiferencial.Vista geométricamente, la elevación se produce verticalmente a partir del punto en que se toma el diferencial. El incremento que se tome representará el alejamiento horizontal que haga desde el punto en cuestión.Así la elevación de la tangente que se obtenga como resultado dependerá del punto en cuestión y del alejamiento horizontal que se tomen, que en la formulas matemáticas están definidosrespectivamente por y . |
4.4 Propiedades de la derivada.
Sea
/
.1) Con una demostración similar a la realizada para funciones vectoriales se tiene que:2) Si las F'i (con i "{1,2,...,m} son continuas en
, para cada componente vale la homogeneidad y la aditividad de la derivada direccional para campos escalares, entonces:a)
|

b)Si
son versores de Rn y
, entonces:

4.5 Regla dela cadena.
Esta propiedad asegura que si y = f(x) es una función derivable en un cierto intervalo I, y z = g(y) es otra función derivable y definida en otro intervalo que contiene a todos los valores (imágenes) de la función f, entonces la función compuesta definida por (g o f) (x) = g[f(x)], es derivable en todo punto x de I y se obtiene Regla de la cadena para la función potencialSe sabe que laderivada de una función f(x) = xm es f'(x) = m · xm - 1. |
Si en lugar de x se tuviese una función u(x), la derivada de u(x)maplicando la regla de la cadena, será: [u(x)m]' = m · u(x)m - 1 · u'(x) Para simplificar la notación, y a partir de ahora, se escribirá simplemente u en lugar de u(x). Así, |

4.6 Fórmulas de derivación y fórmulas de diferenciación.
Formulas de Derivación
I dc =...