Cálculo

CÁLCULO DIFERENCIAL

UNIDAD I
NÚMEROS REALES

1.1 RECTA NUMÉRICA
La recta numérica es un dibujo unidimensional de una línea en la que los números enteros son mostrados como puntos especialmente marcados que están separados uniformemente. Aunque la imagen de abajo muestra solamente los números enteros a entre -9 y 9, la recta incluye todos los números reales, continuando "ilimitadamente" encada sentido. Frecuente es usada como ayuda para enseñar la adición y la sustracción simples, implicando especialmente números negativos.

Está dividida en dos mitades simétricas por el origen, es decir el número cero. En la recta numérica mostrada arriba, los números negativos se representan en rojo y los positivos en azul
1.2 LOS NÚMEROS REALES
Existen diferentes tipos de números que formanel sistema de los números reales: los Naturales ( 1,2,3,4), Los enteros son los números naturales, junto con los negativos y el cero (-3,-2,-1,0,1,2,3), construimos los Números Racionales mediante razones entre números enterosl. Así cualquier numero racional r se puede expresar como r= , donde m y n son enteros y n ≠ 0.

También existen números reales, como , que no se expresan como una razónentre números enteros, por lo tanto se conocen como números irracionales. Se puede demostrar, con diversos grados de dificultad, que cada uno de los números siguienteses también un número irracional:
π

El conjunto de todos los números reales, por lo general, se denota mediante el símbolo R. cuando utilizamos la palabra número sin adjetivo, queremos decir “Número Real”. La figura 1muestra un diagrama de los diferentes tipos de números reales:
NÚMEROS IRRACIONALES

NÚMEROS REALES
ENTEROS POSITIVOS

ENTEROS NEGATIVOS
CERO
NÚMEROS ENTEROS
NÚMEROS RACIONALES


Todo número real posee una representación decimal. Si el número es racional, entonces su parte decimal correspondiente se repite. Por ejemplo:

= 0.5000…= 0.50 = 0.66666…= 0.60
= 0.3171717…= 0.317 =10285714285714…= 1.285714


Si el número es irracional, la representación decimal no es repetitiva:
= 1.414213562373095… π= 3.141592653589793…

Si detenemos la expansión decimal de cualquier número en un cierto lugar, obtenemos una expresión aproximada del número. Por ejemplo podemos escribir

π= 3.14159265
Donde el símbolo = se lee como “es aproximadamente igual a”. Mientras másdecimales tengamos, mejor será la aproximación que obtendremos.

Los números reales se pueden representar mediante puntos sobre una recta. La dirección positiva (hacia la derecha) se indica mediante una flecha. Escogemos un punto arbitrario de referencia =, llamado el origen, que corresponde al número real 0. Dada cualquier unidad conveniente de medición, cada número positivo x, estarepresentado por un punto en la recta a una distancia de x unidades hacia la derecha del origen, y cada número negativo –x está representado por un punto que se encuentra a x unidades hacia la izquierda del origen. Así, todos los números reales están representados mediante un punto en la recta, y cada punto P sobre la recta corresponde exactamente a un número real. El número asociado con el punto P, y larecta entonces se conoce como recta de coordenadas, o la recta de los números reales o simplemente recta real. A menudo identificamos el punto con su coordenada y pensamos en un número como un punto sobre la recta real.

Los números reales están ordenados. Decimos que a es menor que b y escribimos a<b si b-a es un número positivo. Geométricamente, esto significa que a se encuentra laizquierda de b en la recta real. (De manera equivalente, podemos decir que b es mayor que a y escribir b>a.

1.3 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

Al combinar los números reales utilizando las operaciones familiares de suma y multiplicación, utilizamos las siguientes propiedades de los números reales.
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES |
PROPIEDAD | EJEMPLO | NOMBRE Y DESCRIPCIÓN |
a+b =...