Cálculos de volúmenes y áreas de revolución

Cálculo de volúmenes y áreas

x +y =r
2 2

2

ecuación de una circunferencia de radio centro en el origen

r

con

(0,0) r

(x − a)2 + (y − b)2 = r 2 d(P, L) =
x = cost

ecuación de una circunferencia de radio centro en el punto

con

(a,b)

ax0 + by0 + c a2 + b2 y = sint

distancia de un punto una recta

P = (x0 , y0 )

a

L : ax + by + c = 0

0 ≤ t ≤ 2π
(0,0)en ecuaciones paramétricas

representación de un círculo unitario con centro en el origen

x = h + r cost

y = k + rsint
r
con centro en

0 ≤ t ≤ 2π
(h, k) en ecuaciones paramétricas

representación de un círculo de radio

CÁLCULO DE VOLÚMENES
Sea S el sólido del cual queremos calcular el volumen. Trazamos un eje de forma que en cada posición de tal eje se conozca el área de lasección trasversal (perpendicular) del sólido a dicho eje. Denotaremos el eje por OX y A(x) el área de la sección transversal, supongamos además que el sólido se encuentra entre los planos x = a y x = b . El volumen del sólido se puede obtener con la fórmula:

V (S) = ∫ A(x)dx
a

b

SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
Un sólido de revolución es un sólido generado mediante la rotación de una región planaalrededor de una recta en el mismo plano de la región.
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Cálculo de volúmenes y áreas

Observación: La recta respecto a la que se rota nunca pasa a través del sólido, puede ser tangente al sólido o estar separado de él. MÉTODO DE LOS DISCOS Suponga que una región plana está limitada por las gráficas de dos funciones y = R(x) e

y = r(x) y por la recta x = 0 y x = b . Supongamos además, quepara x ∈[a,b] , se cumple 0 ≤ r(x) ≤ R(x) . Esta región gira alrededor del eje x.
Notar que el área de la región transversal del sólido (la región plana está girando) es:

A(x) = (área del círculo mayor) − (área del círculo menor)
Como 0 ≤ r(x) ≤ R(x) , se tiene que el radio del círculo mayor corresponde a R(x) y el radio del círculo menor corresponde a r(x) . Recordar que el área de uncírculo de radio r es

π r 2 . Luego, el área de la sección transversal es:

A(x) = π R 2 (x) − π r 2 (x)
Se sigue que el volumen del sólido es:

V = π ∫ [R 2 (x) − r 2 (x)]dx
a

b

MÉTODO DE LAS CAPAS CILÍNDRICAS O DE LAS ARANDELAS Suponga que una región es acotada por la gráfica de una función positiva y = f (x) y el eje x. Sobre un intervalo finito [a,b] , esta región está a la derecha de larecta x = L (supongamos a ≥ L ), de esta forma la región puede tocar a la recta pero no pasar a través de ella. Generamos un sólido de revolución rotando la región alrededor de la recta. El volumen del sólido generado por la rotación de una región plana definida entre x = a y x = b alrededor de la recta x = L , la cual no pasa a través de la región plana, está dada por:

V = ∫ 2π Rh dx
a

bR : radio de la capa cilíndrica h : altura de la capa cilíndrica

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Cálculo de volúmenes y áreas

ÁREAS DE SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN
Una superficie de revolución es generada cuando una curva plana gira alrededor de una recta coplanar (recta que se encuentra en el mismo plano de la curva). Sea C una curva suave (curva que es derivable en cada uno de sus puntos) dada por ( x(t), y(t)) , t∈[a,b] . Considere una recta L de ecuación ax + by + c = 0 que no corta a la curva C . Para t ∈[a,b] consideremos la distancia desde el punto ( x(t), y(t)) a la recta L , esto es:

ρ=

a ( x(t)) + b ( y(t)) + c a2 + b2

Entonces, el área de superficie de revolución obtenida al rotar la curva C en torno a la recta L está dada por:

A(s) = 2π ∫ ρ
a

b

( x '(t))2 + ( y'(t))2 dt

x ' :derivada de x y' : derivada de y

CASOS PARTICULARES IMPORTANTES 1. Si consideramos el gráfico de la función y = f (x) con x ∈[a,b] y la rotación es en torno al eje x, entonces el área de superficie de revolución esta dada por:

A(s) = 2π ∫ y 1+ ( f '(x)) dx
b 2 a

2. Si una curva C está dada en coordenadas polares por r = ρ (θ ) con θ ∈[α , β ] y L es una recta que parte en el origen dada...