CÍRCULO DE MOHR PARA ESFUERZO PLANO

 
I.- Círculo de Mohr¿Qué es o a qué se le llama Círculo de Mohr?
Un enfoque mejor para determinar los esfuerzos principales normal y cortante, en unpunto consiste en usar la solución semigráfica (ideada por el profesor Otto Mohr, enAlemania alrededor de 1882), que representa gráficamente las fórmulas generales para el esfuerzo en un punto.
Aplicaciones del Círculo de Mohr.
Diseño de ejessujetos a esfuerzos de flexión y cortante combinados.
Cálculo de esfuerzos tridimensionales.
Tensión triaxial.
Tensiones tangenciales máximas.
Presión de fluidos.
Profundidad.
Cohesión.
Sistema magmático.
Geotecnia.
CÍRCULO DE MOHR PARA ESFUERZO PLANO
El círculo para obtener algunas de las ecuaciones básicas relativas a la transformación de un esfuerzo plano lo introdujo el ingenieroalemán Otto Mohr (1835-1918), por lo que se conoce como círculo de Mohr para esfuerzo plano. Este método se basa en consideraciones geométricas simples y no requiere el uso de ecuaciones especializadas. Aunque fue diseñado para obtener soluciones gráficas, se puede aplicar muy bien empleando una calculadora.
Considere un elemento cuadrado de un material sometido a esfuerzo plano (figura 1a), y seanx, y y xy las componentes del esfuerzo ejercido sobre el elemento. Dibuje un punto X de coordenas x y -xy, y un punto Y de coordenadas y y +xy (figura 1b). Si xy es positivo, como se supone en la figura 1a, el punto X está situado debajo del eje y el punto Y encima, como se muestra en la figura 1b. Si xy es negativo, X se sitúa encima del eje y Y debajo. Uniendo X y Y mediante una línea rectase define el punto C de intersección de la línea XY con el eje y se dibuja el círculo de centro en C y diámetro XY. Al observar que la abscisa de C y el radio del círculo son respectivamente iguales a las cantidades prom y R definidas por las ecuaciones (1), se concluye que el círculo obtenido es el círculo de Mohr para esfuerzo plano. Así, las abscisas de los puntos A y B, en donde el círculointerseca el eje , representan respectivamente los esfuerzos principales máx y mín en el punto considerado

prom=x+y2 y R=(x+y2)2+τXY2 ……………………………(1)
8153401270000
72009026797000
FIGURA 1 : Circulo de mohrSe nota también que como tanXCA=2xy/(x-y) el ángulo XCA es igual en magnitud a uno de los ángulos 2p que satisfacen las ecuaciones (7.12). Así, el ángulo up quedefine la figura 1a la orientación del plano principal correspondiente al punto A en la figura 1b puede obtenerse dividiendo entre la mitad el ángulo XCA medido en el círculo de Mohr. Observe además que si y como en el caso considerado aquí, la rotación que trae CX a CA es en sentido contrario a las agujas del reloj. Pero en ese caso el ángulo up obtenido de la ecuación (7.12), el cual define ladirección de la normal Oa al plano principal, es positivo; por ello la rotación que trae Ox a Oa es también en sentido contrario al de las agujas del reloj. Se concluye que los sentidos de rotación en ambas partes de la figura 1 son los mismos. Si se requiere un giro 2p para llevar CX a CA en el círculo Mohr, una rotación en sentido contrario al de las agujas del reloj p llevará Ox a Oa en la figura1a.
Como el círculo de Mohr está definido en forma única, el mismo círculo puede obtenerse considerando las componentes x’, ’y_ y ’x_y_, correspondiente a los ejes x’ y y’ de la figura 2a. El punto X’ de las coordenadas x’ y -x’y’, y el punto Y’ de coordenadas y´ y +x´y’, están, por tanto, localizadas en el círculo de Mohr y el ángulo X´CA de la figura 2b debe ser el doble
del ángulo x´Oa dela figura 2a. Como el ángulo XCA es el doble del

FIGURA 2
ángulo xOa, se sigue que el ángulo XCX´ de la figura 2b es el doble del xOx´ de la figura 2a. Así el diámetro X´Y´que define los esfuerzos normales y cortantes x´, y´ y x´y´ puede obtenerse girando el diámetro XY un ángulo igual al doble del ángulo formado por los ejes x´ y x de la figura 2a. Se observa que la rotación que hace...