Cónicas

II.3. LAS CÓNICAS.

1. Concepto de lugar geométrico.
A. Regla para hallar la ecuación de un lugar geométrico.
B. Mediatriz de un segmento.
C. Bisectrices de un ángulo.
2. Las cónicas como secciones planas de una superficie cónica.
A. Superficie cónica de revolución.
B. Secciones planas de una superficie cónica.
3. La circunferencia [RESUMEN].
4. La elipse.A. Elementos.
B. Ecuación de la elipse.
C. Intersección de una elipse y una recta.
D. Tangentes a una elipse desde un punto exterior.
E. Tangente y normal a una elipse en uno de sus puntos.
F. Ejercicios.
5. La hipérbola.
A. Elementos.
B. Ecuación de la hipérbola.
C. Intersección de una hipérbola y una recta.
D. Tangentes a una hipérbola desde un puntoexterior.
E. Tangente y normal a una hipérbola en uno de sus puntos.
F. Asíntotas. Hipérbola equilátera. Ecuación referida a sus asíntotas.
G. Ejercicios.
6. La parábola.
A. Elementos.
B. Ecuación de la parábola.
C. Intersección de una parábola y una recta.
D. Tangentes a una parábola desde un punto exterior.
E. Tangente y normal a una parábola en uno desus puntos.
F. Ejercicios.
7. Propiedades comunes a las cónicas.
8. Propiedades y curiosidades sobre las cónicas.
9. Ejercicios.
10. Ejercicios propuestos en las P.A.U..
[pic]

1. CONCEPTO DE LUGAR GEOMÉTRICO.

Lugar geométrico definido por una cierta propiedad. Es el conjunto de puntos del plano que verifican esa propiedad.

( Una recta es el lugar geométrico delos puntos del plano alineados con un punto dado y con una dirección dada.

Determinar un lugar geométrico equivale a determinar un conjunto de puntos que cumplen una propiedad característica.

Si L es un lugar geométrico definido por la propiedad p, se verifica que:

a) Todo punto de L posee la propiedad p.
b) Todo punto que posee la propiedad p pertenece a L.

Lacondición b) puede sustituirse por la siguiente:

c) Todo punto no perteneciente a L no posee la propiedad p.

Si un punto P(x,y) pertenece a un lugar geométrico L, la condición que debe cumplir dicho punto P conduce a una ecuación entre las variables x e y que es la llamada ecuación del lugar geométrico L.

A. REGLA PARA HALLAR LA ECUACIÓN DE UN LUGAR GEOMÉTRICO.

Parahallar la ecuación de un lugar geométrico se suelen realizar los siguientes pasos:

1. Se toma un punto cualquiera P(x,y) del lugar geométrico, al que se acostumbra a llamar punto genérico.
2. Se expresa teóricamente la propiedad que determina el lugar geométrico.
3. Se sustituye esta ecuación por su expresión analítica.
4. Se simplifica esta ecuación hasta obtener la expresión mássencilla posible.

B. MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO.

La mediatriz de un segmento [pic] es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento.
Es la recta perpendicular a [pic] y que pasa por su punto medio.

Ejercicios.

1. ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los vértices de un triángulo?
2. Si A(3,5) yB(7,3), obtener la mediatriz del segmento [pic] por dos procedimientos distintos:
a) Mediante condiciones de perpendicularidad.
b) Tomando un punto genérico P(x,y) y desarrollando la expresión d(P,A)=d(P,B).









C. BISECTRICES DE UN ÁNGULO.

Sean r(Ax+By+C=0 y r'(A'x+B'y+C'=0 dos rectas no paralelas.
[pic]
El lugar geométrico de los puntos del plano queequidistan de las rectas r y r' está formado por dos rectas perpendiculares entre sí que se cortan en el mismo punto que r y r'. Son las bisectrices de los cuatro ángulos determinados por dichas rectas.

Siendo P(x,y) es un punto de dicho lugar geométrico, d(P,r)=d(P,r') luego: [pic] = [pic] o, lo que es lo mismo, (x,y) ha de hacer cierta al menos una de las dos siguientes igualdades...