Cónicas

CÓNICAS
ELIPSE
DEFINICIÓN: lugar geométrico formado por todos los puntos el plano para los cuales se cumple que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano, denominados focos, permanece constante y es mayor que la distancia entre los focos

ELEMENOTOS:
• Eje focal: recta que contiene a los focos
• Centro: punto medio de los focos
• Eje transverso: rectaperpendicular al eje focal que contiene al centro
• Vértices principales: puntos de la elipse sobre el eje focal
• Vértices secundarios: puntos de la elipse sobre el eje transverso
• Distancia ínter focal: distancia entre los focos
• Lado recto: longitud del segmento de recta que es perpendicular al eje focal, pasa por uno de los focos, y tiene como extremos dos puntos de la elipse• Longitud eje mayor: 2a; Longitud eje menor: 2b; Distancia ínter focal: 2c










ECUACIÓN CANÓNICA DE LA ELIPSE:











d1+d2=k ( d1+d2=2a
PARÁBOLA
DEFINICIÓN: lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de una recta “r” denominada directriz, y de un punto fijo “F” exterior denominado foco



ELEMENTOS.
• Eje focal: recta que contiene alfoco
• Directriz: recta perpendicular al eje focal y donde todo punto de la parábola equidista de dicha recta y del foco
• Vértice: intersección de la parábola y su eje focal
• Lado recto: distancia entre los puntos e intersección de la parábola con la recta perpendicular al eje focal, que contiene al foco
• Cuerda: segmento de la recta que une dos puntos cualquiera diferentesde la parábola













ECUACIONES CANÓNICAS DE LA PARÁBOLA:
▪ Foco sobre el eje “y”:











d1=d2
HIPÉRBOLA
DEFINICIÓN: lugar geométrico de todos los puntos del plano para los cuales el valor absoluto de las diferencias de sus distancias a dos puntos fijos, denominados focos, es constante y menor que la distancia entre los focos


ELEMENTOS• Eje focal: recta que contiene a los focos
• Centro: punto medio de los focos
• Eje normal: recta que contiene los vértices ficticios
• Vértices: intersección de la hipérbola con el eje focal
• Distancia ínter focal: distancia entre los focos
• Lado recto: distancia entre los puntos de intersección de la hipérbola con la recta perpendicular al eje focal, que contienea uno de los focos
• Distancia entre dos vértices: 2a; Distancia ínter focal: 2b













ECUACIONES CANÓNICAS DE LA HIPÉRBOLA:













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ELIPSE
[pic]Operando con los puntos graficados, y llevados a una forma más simple, obtenemos:
[pic]

ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSIS:
Con centro (h,k) y semiejes en a y b:
[pic]

ECUACIÓN GENERALINCOMPLETA:
Partiendo de la ecuación ordinaria:
[pic][pic]
[pic]











PARÁBOLA
Teniendo en cuenta el enunciado anterior podemos expresar:
[pic][pic]
ECUACIÓN ORDINARIA DE LA PARÁBOLA:
- Con vértice en (h;k)
- Directriz: y-k+c=o ; Foco(h;k+c)( // “y”
- Eje focal: x=h
[pic]
- Si la directriz es: x-h+c=0
- Eje focal: y=k ( // ”x”
[pic]
ECUACIÓN GENERALINCOMPLETA:
Partiendo de las ecuaciones ordinarias:
[pic]
[pic]


[pic]

HIPÉRBOLA
Realizando las operaciones necesarias de acuerdo a los puntos planteados en el gráfico, se llega a la conclusión que:
[pic]

ECUACIÓN ORDINARIA DE LA HIPÉRBOLA:
[pic]

ECUACIÓN GENERAL INCOMPLETA:
Partiendo de la ecuación ordinaria
[pic]




ELIPSE
CONDICIÓN NECESARIA:
❖ Es necesario que loscoeficientes A y C tengan igual signo (además, si A=C se trataría de una circunferencia)


CONDICIÓN SUFICIENTE:
❖ Dada Ax2+Dx+Cy2+Ey+F=0 / sig.(A)=sig.(C) y llamando a:
[pic]
Entonces:
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INVARIANTE:
I = B2 - 4AC < 0

EXCENTRICIDAD:
( Si e > 1, Sig. (A) = Sig. (B) ( ELIPSE
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✓ Si b « a ( e[pic]1 Elipse alargada
✓ Si b[pic]a ( Casi circunferencia, e[pic]0...