cónicas

República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la educación
U.E. Colegio “Don Bosco “
Puerto Ordaz – Estado Bolívar








Cónicas









Integrantes:
Victor Murillo
Kendry Aranguren

Puerto Ordaz, 2 de junio del 2014
Introducción

Las cónicas constituyen uno de los conjuntos de curvas más importantes de la Geometría y que más seutilizan en distintas ramas de la Ciencia y la Ingeniería.
En este trabajo presentamos lugares geométricos que son muy importantes en la Geometría analítica y que se originan de considerar cortes en diferentes ángulos de un cono doble circular recto, mediante un plano, dando lugar a las figuras llamadas precisamente CÓNICAS, o también SECCIONES CÓNICAS, las que según el ángulo de corte reciben elnombre de parábola, elipse, hipérbola, y algunos casos especiales de estas curva.

Todas estas secciones cónicas tiene una propiedad común que es satisfecha por cada uno de sus puntos, y es que el cociente de la distancia de cada uno de estos puntos hasta un punto fijo F, llamado foco, entre su distancia a una recta fija D, llamada directriz, es siempre constante, denotada por e ydenominada excentricidad.


















La hipérbola como sección cónica

La circunferencia, la elipse, la parábola o la hipérbola son curvas planas de todos conocidas.
Estas curvas aparecían ya en la geometría griega y fueron denominadas secciones cónicas, ya que los griegos de la época de Platón consideraban que tales curvas procedían de la intersección de un cono con un plano.
 
 Laelipse como sección cónica
Cuando los matemáticos de los siglos XVI y XVII estudiaron los trabajos griegos, empezaron a comprobar la falta de generalidad de los métodos de demostración lo que llevo a sustituir la visión puramente geométrica de las secciones cónicas por otra que incorporaba las nociones de coordenadas y distancia. Esto llevo a la definición de estas curvas como lugares geométricosde puntos que verificaban ciertas propiedades en términos de distancia. (Las cónicas como lugares geométricos).

La parábola como sección cónica      
Finalmente se estableció una teoría algebraica general que engloba todas estas curvas y las describe como curvas cuadráticas. Es esta teoría la que presentamos a continuación.
Curvas cuadráticas
Una cónica es el lugar geométrico de los puntosdel plano (x,y) que satisfacen una ecuación completa de segundo grado:

La ecuación de una cónica se puede escribir en forma matricial como    

Donde

 
Una cónica queda pues definida  por una matriz simétrica 
En lo que sigue denotaremos por Aii  a la matriz adjunta en A del elemento aii   i=0,1,2 .

Ejemplo:
                                         
En el siguiente gráfico vemos lacónica que representa la ecuación cuadrática anterior
 


En este caso la matriz de la cónica y las matrices adjuntas correspondientes son

            
          

Las figuras que representan las ecuaciones cuadráticas pueden ser, además de elipses, hipérbolas y parábolas, pares de rectas tanto secantes como paralelas y estas últimas pueden ser distintas o coincidentes. También puede darseel caso de que la ecuación sea verificada por un único punto o por ninguno.

Clasificación de las cónicas
Existen ciertas cantidades asociadas a la matriz de la cónica que son invariantes respecto a los movimientos del plano (giros y traslaciones).
Si    y   son las matrices asociadas a la cónica después de que ésta ha sufrido un giro y una traslación, respectivamente, entonces
1)  det A=detA'=det A'',
2)   a11 + a22 = a'11+ a'22 = a''11 + a''22,
3)  det A00 = det A'00 = det A''00.

Elementos notables de las cónicas
Centro:
Polar  Dado un punto  P=(x0,y0) se llama polar de P respecto de una cónica C de matriz A a la recta de ecuación
 
Si el punto P está en la cónica C entonces la recta polar de P respecto a C es precisamente la recta tangente a la cónica en dicho punto...