Cópulas

Junio 2010

CÓPULAS

Allan Cabutto Montoya

Introducción
Las cópulas son herramientas útiles en lo que modelos multivariados se refiere, principalmente se utilizan para estudiar la dependencia entre variables. Su principal propósito es describir la interrelación entre varias variables aleatorias. Consideremos dos variables aleatorias ��1 �� ��2 , que nos darán dos números del conjunto{1,2, , … ,6}. Estos números son el resultado de un experimento relativamente sencillo. Asumamos que se nos comunica ��1 y podemos hacer algún tipo de apuesta sobre ��2 . La pregunta que nos podríamos hacer es, cuánta cantidad de información podemos obtener de la observación de ��1 , o dicho de otro modo, cuál es la interrelación o dependencia de estas dos variables aleatorias. La respuesta seencuentra fácilmente si el procedimiento es sólo arrojar un dado y que el primer resultado sea ��1 y el segundo ��2 . En este caso las variables son independientes: el conocimiento de ��1 no nos da información alguna sobre ��2 . El ejemplo contrario es cuando los dos números son iguales, de tal forma que con ��1 tenemos información completa sobre ��2 . Para un análisis más profundo necesitaremos algunasherramientas que nos ayuden a describir la posible dependencia de estas dos variables aleatorias. Observemos que cada variable está descrita completamente por su función de distribución acumulativa ���� �� ≔ ��(���� ≤ ��). De cualquier modo las funciones de distribución acumulativas no nos proporcionan información acerca del comportamiento conjunto. Así, para obtener una descripción completa de��1 �� ��2 juntas utilizamos las marginales y el tipo de interrelación. La pregunta que surge es si este tipo de separación entre marginales y dependencia se puede generalizar también a un marco más general. Y es para esto por lo cual utilizamos las cópulas. Esta función describe la estructura de dependencia separada desde las marginales. La intuición detrás de esto es que las distribuciones marginalesse transforman en uniformes y se usan como en el caso de referencia. Entonces la cópula expresa la estructura de dependencia de acuerdo a este caso de referencia.

Definiciones.
Una cópula �� − ���������������������� es una función de distribución en [0,1]�� con distribuciones marginales uniformes estándar. Tomaremos la notación �� �� = ��(��1 , … , ���� ) para las funciones de distribuciónmultivariadas que son cópulas. Por lo que ��: [0,1]�� [0,1]. Se deben de cumplir las siguientes tres propiedades: 1. ��(��1 , … , ���� ) es creciente en cada componente ���� . 2. �� 1, … ,1, ���� , 1, … ,1 = ���� ∀ �� ∈ 1, … , �� , ���� ∈ [0,1]. 3. ∀ ��1 , … , ���� , ��1 , … , �� ∈ [0,1]�� con ��1 ≤ ��1 tenemos
2 2

…
��1 =1 ���� =1

−1

��1 +⋯+����

�� ��1��1 , … , ���� ����

≥0donde ���� 1 = ���� �� ���� 2 = ���� ; ∀ �� ∈ {1, … , ��} Cada función que satisfaga estas propiedades es una cópula. Es más, si tenemos una cópula �� − ���������������������� entonces ��(1, ��1 , … , ����−1 ) es de nuevo una cópula y también lo son todas las marginales �� − �������������������������� con 2 ≤ �� < ��. Entonces para muchas cuestiones teóricas nos podemos concentrar en cópulasbidimensionales. El objetivo de las cópulas es “desenredar” marginales y estructura de dependencia, por lo que se enuncia el siguiente resultado sobre transformaciones de cuantiles. Para una función de distribución ��, definimos su inversa generalizada por �� −1 �� ≔ inf ��: �� �� ≥ �� . Recordemos que si ��~��[0,1] y �� es una función de distribución acumulativa, entonces ��(�� −1 �� ≤ ��) = �� �� .Teorema de Sklar
Si �� es una función de distribución multivariable con marginales ��1 ��1 , … , ���� ���� , entonces existe una función de distribución conjunta multivariable �� tal que �� ��1 , … , ���� = �� ��1 ��1 , … , ���� ����

Prueba Sea �� = ��1 , … , ���� un vector aleatorio en el espacio de probabilidad (Ω, ℌ, P) con distribución �� y sea ��~�� 0,1 independiente de ��....