C13 Metodo Numerico euler

883 Análisis matemático para Ingeniería.

M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA

CAPÍTULO 13
Métodos numéricos de un paso

El objetivo de este capítulo es introducir los métodos numéricos de resolución
de una ecuación diferencial o de un sistema de ecuaciones diferenciales de un
solo paso, mientras que en el siguiente capítulo se estudiarán los métodos
multipaso.
Un sistema deecuaciones diferenciales o una ecuación diferencial de orden
superior siempre pueden ser expresados como un sistema de primer orden, y de
esta forma resolver numéricamente el problema de valor inicial:
y’ = f(x, y)
y(x 0 ) = y 0
donde y, y’, y 0 ∈ ℜn son vectores n-dimensionales, f: ℜn+1 → ℜn, mientras que x y
x 0 son escalares. Una solución está definida en un intervalo [x 0 , b] donde x 0 y b
sonfinitos. Se supone que se verifican las hipótesis del teorema de existencia y
unicidad de Picard-Lindelöf por lo que se puede garantizar que existe una única
solución y = y(x) del problema de valor inicial.
Todo método numérico lleva consigo la idea de discretización, esto es, el
intervalo continuo [x 0 , b] de x es reemplazado por un conjunto discreto de puntos
{x n } definidos por x n = x 0 + nh, n= 0, 1, 2, ..., N = (b – x 0 )/h. El parámetro h se

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Métodos numéricos de un paso

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denomina longitud de paso, que en un principio se considera que es constante,
aunque la potencia de los modernos algoritmos deriva de su habilidad para
cambiar h automáticamente en el proceso de computación.
En este capítulo (y en el siguiente) se denotapor y(x) a la solución exacta de
la ecuación diferencial y por z n al valor aproximado de la solución en x n .
El objetivo es encontrar un conjunto de valores {z n } que se aproximen a la
solución en el conjunto discreto de puntos {x n }, zn ≅ y(x n ). Esta sucesión se
denomina solución numérica del problema de valor inicial. Un método
numérico es por tanto una ecuación en diferencias que permitacomputar los zn .
Existen algoritmos que implementan estos métodos permitiendo estimar el
error, seleccionar el tamaño de paso más conveniente y decidir qué método
emplear en cada etapa de la búsqueda de la solución. Pero resultan como “cajas
negras” poco aprovechables para comprender el proceso. El propósito de este
capítulo y del siguiente es, precisamente, entender su comportamiento y conocer
suspropiedades.
Existen una gran diversidad de métodos numéricos para la resolución de un
problema de valor inicial, con distintas características. Estos métodos se agrupan
en dos familias: los métodos de un paso y los métodos lineales multipaso.
Los métodos de un paso, que se presentan en este capítulo, se caracterizan
porque el valor aproximado zn de la solución en el punto x n se obtiene a partirdel
valor zn-1 obtenido en la etapa anterior.
Los métodos lineales multipaso, que se estudian en el capítulo siguiente,

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Capítulo 13: Métodos numéricos

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utilizan para el cálculo del valor aproximado z n no sólo el valor zn-1 obtenido en la
etapa anterior, sino también los valores z n-2 , ..., z n-j obtenidos en etapas previas.
Lautilización de estos valores previos hace que el comportamiento de los dos
grupos de métodos numéricos sea muy diferente, con características específicas
para cada grupo, lo que hace preciso un estudio diferenciado de cada una de las
familias.
El contenido de este capítulo es el siguiente: En primer lugar y con el fin de
entender como funcionan los métodos numéricos se comienza estudiando el mássencillo, el método de Euler, que sirve como modelo común de comportamiento de
los métodos numéricos, tanto para los métodos de un paso como para los
métodos lineales multipaso. A continuación se introducen los métodos de un paso,
entre los que se destacan especialmente los métodos de Taylor y los métodos de
Runge-Kutta, y se estudian sus propiedades. Al analizar de forma general los
métodos de un paso...