C2 2012 2 Con Pauta

Universidad de Chile
Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
Departamento de Física
FI -1002 Sistemas Newtonianos

Control 2
2h 30 min
27 de octubre 2012
Profs. F. Barra, V. Fuenzalida, R. Garreaud, P. Herrera, N. Mujica,
G. Palma, M. Riquelme y R. Rondanelli

1)
La figura muestra una tabla larga uniforme de masa M que se
apoya sobre dos cilindros uniformes de radio R y masa m cada uno.
Loscilindros ruedan sin resbalar con respecto al suelo y la tabla. Si
la tabla se jala hacia la derecha con una fuerza F, calcule su
aceleración.
El momento de inercia de un cilindro homogéneo de masa M y
radio R c/r a su eje de simetría axial es Io=MR2/2.

F

M
m

R

m

R

2) Dos pulsos viajan por una cuerda muy larga (infinita),
como se muestra en la figura. El pulso que viaja hacia la
derecha estárepresentado por la función u1(x,t)=f(x-ct).
a) ¿Cuál es la función u2(x,t) que representa al pulso que
viaja hacia la izquierda, si la forma de dicho pulso es la imagen especular del anterior respecto de la horizontal y ambos
pulsos se encuentran inicialmente a la misma distancia del
origen?
b) Si la velocidad de propagación es c= 1 m/s, encuentre el instante en el cual la cuerda se encuentracompletamente horizontal (1 punto).
c) Para ese instante bosqueje la velocidad transversal de cada punto de la cuerda. (3 puntos)
3) Considere un bloque de masa m unido a una
pared mediante un resorte de constante elástica k y
largo natural lo. El bloque puede deslizar sin roce
sobre una superficie lisa (ver figura). Sobre el
bloque actúa una corriente de aire con velocidad
constante vo, que ejerceuna fuerza de roce viscoso
lineal caracterizada por un coeficiente de roce γ.
(a) Determine la frecuencia de oscilación del sistema y su punto de equilibrio xo con respecto a la pared.
(b) Suponga ahora que la velocidad de la corriente de aire tiene una pequeña variación temporal de
modo que se representa por forma v(t)=vo[1+sen(ωt)/10]. Determine la amplitud máxima de oscilación
debida a la fuerzavariable en torno al punto de equilibrio xo.
(c) En régimen de resonancia, determine el valor máximo de vo para que el bloque no choque contra la
pared.
Dato: la solución general de la ecuación d2x/dt2+bdx/dt+ωo2x=Bsen(ωt) es la suma de una solución
transiente y una solución estacionaria:
x(t)=Aexp(-2bt)cos(Ωt+ϕo)+Csen(ωt-δ), donde
A y ϕo son constantes que dependen de las condiciones inicialesΩ2=ωo2-(b/2)2
C=B/[(ωo2-ω2)2+(bω)2]1/2 y

tg(δ)=ω/[(ωo2-ω2)/b]

Soluci´
on Control 2
FI1002 - primavera 2012
Problema 1
Sean T1 y T2 las fuerzas tangenciales que la tabla ejerce sobre cada una de
las ruedas (en color azul en la figura, en rojo las fuerzas que act´
uan sobre la
tabla. Atenci´on: s´olo se muestran las fuerzas que importan en este problema
particular). Pueden suponerse iguales, peroen esta soluci´on se prueba que
lo son. Para una de las ruedas se calcula el torque con respecto al centro
instant´aneo de rotaci´on, considerando que ni su peso, ni la reacci´on normal
del suelo ni la reacci´on normal de la tabla ejercen torque con respecto a
dicho punto. Solamente queda el torque debido a la fuerta tangencial, que
es τ1 = 2RT1 (con signo menos seg´
un la regla de la manoderecha). La
aceleraci´on angular ser´a
α = τ1 /IP = 2RT1 /IP ,
donde IP es el momento de inercia con respecto al centro instant´aneo de
rotaci´on y se calcula por el teorema de Steiner:
IP = mR2 /2 + mR2 = 3mR2 /2.
La aceleraci´on tangencial del punto m´as alto de la rueda, que coincide con la
aceleraci´on de la tabla, es a = 2Rα = 4R2 T1 /IP . El mismo razonamiento se

F~
T~1

T~1

~⌧1

=

~⌧2

=

2RT1kˆ
2RT2 kˆ

↵
~

=

↵kˆ

~a

=

T~2

T~2
|ˆ
kˆ

aˆı
1

ˆı

repite para la segunda rueda y, como la aceleraci´on es la misma, se concluye
que T1 = T2 = T y que la aceleraci´on de la tabla se relaciona con T seg´
un
a = 2Rα = 4R2 T /IP = 8T /3m
o bien
T = 3ma/8
El diagrama de cuerpo libre para la tabla indica que la suma de las fuerzas
horizontales es Fx = F −2T = M a, de donde F = 2T +M a =...