Caca

Control 6, Probabilidades
Facultad de Ingenier´ y Ciencias Aplicadas, U. de Los Andes.
ıa
Prof: Alexis Fuentes. Aux: Nikol´s Tapia.
a
Semestre 2011-2
P1.- Vectores Aleatorios Discretos.Considere (X, Y ) un vector aleatorio discreto cuya densidad conjunta est´ dada
a
por pX,Y (i, j ) = K (i + 1)(j + 1) para (i, j ) ∈ {0, 1, 2}2 y 0 en cualquier otro
caso.
(a) Calcular la constante K ylas densidades marginales de X e Y .
(b) Calcular para cada j ∈ {0, 1, 2} las densidades condicionales pX |Y (i|j ).
Analice la independencia de X e Y .
Ind: Recuerde que X e Y independientes ⇔pX,Y (i, j ) = pX (i)pY (j ) ∀(i, j ).
(c) Calcular P(X + Y > 2) y P(X 2 + Y 2 ≤ 1).
(d) Determinar la densidad de las variables Z = X + Y y W = X 2 + Y 2 .
OBS: Cada parte tiene 1.5 pts.
P2.-Vectores Aleatorios Continuos.
(a) (2 pts.) Sean X, Y, Z variables aleatorias independientes con ley uniforme
en [0, 1]. Calcular P(X ≥ Y Z ).
(b) (4 pts.) Sean X e Y variables aleatorias independientescon distribuci´n
o
exponencial de par´metro λ > 0. Calcular la densidad de |X − Y | y la
a
densidad conjunta de X y |X − Y |.
P3.- Esperanzas Condicionales.
(a) (3 pts.) Considere el experimentoque consiste en lanzar sucesiva e independientemente un dado usual equilibrado hasta que sale por primera vez
la cara con el uno. Suponga que este experimento se repite independientemente 100 veces.Calcular la esperanza y la varianza del total de caras
con el n´mero 3 obtenidos en total.
u
Ind: Fije ξ uno de los 100 experimentos, luego defina Xi una v.a que vale
1 si sali´ la cara 3 en eli-´simo lanzamiento de ξ y 0 en caso contrario y
o
e
sea Tξ v.a del primer instante en que sale una cara con el 1, calcular la
Tξ

esperanza de

Xi tal como se hizo en clases. Continue.
i=1(b) (3 pts.) Sea (X, Y ) un vector aleatorio distribuido uniformemente en la
regi´n A = {(x, y ) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1, y ≥ 0}. Calcular las esperanzas cono
dicionales E(X |Y = y ) con y ∈ Sop(Y ) y...