Caca

Simulated Annealing - Threshold algorithms (threshold = umbral)

El algoritmo de recocido simulado (Simulated Annealing Algorithm - SAA) pertenece a una clase de Algoritmos de busqueda local (Local Search Algorithms – LSA) comunmente llamada Algoritmos de Umbral (Threshold Algorithm - TA). Hay dos razones por las cuales los TA resultan interesantes dentro de los LSA:

1) parecen andar bienen una amplia gama de problemas reales (practicos)
2) algunos TA, como el SAA, tienen caracteristicas que permiten hacer un analisis de la convergencia.

Esqueleto de un TA

Sea (S,c) una instancia de un problema de optimizacion combinatoria, donde:

S es el conjunto de soluciones factibles
c es la funcion costo (a valores reales positivos)

El problema es hallar un i en S que minimize c.Para implementar un TA son necesarios ademas:

Una funcion entorno N de S en partes de S.
Una sucesion tk (los llamados threshold)

La manera de elegir los tk y el criterio de aceptacion de una nueva solucion definen 3 tipos de TA:

Dado i en S en la iteracion k
Genero j en N(i)
Utilizo los valores c(j) – c(i) y tk para decidir aceptar o no la solucion j

Local Search Improvement(mejora continua): tk = 0 (para todo k)

Si c(j) – c(i) < tk = 0 entonces acepto j

Threshold Accepting (umbral de aceptacion): se fija la sucesion tk tal que tk  tk+1, tk > 0, y tk tiende a 0 cuando k tiende a infinito.

Si c(j) – c(i) < tk entonces acepto j

En este caso, todas las soluciones que disminuyen el costo son aceptadas, y las que incrementan el costo son aceptadas en formalimitada. A medida que aumenta k (progresa el algoritmo) solo se aceptan incrementos pequeños, hasta que eventualmente solo se aceptan mejoras.

Simulated Annealing (recocido simulado): los tk se toman como en el threshold accepting pero el criterio de aceptacion es probabilistico

Si c(j) – c(i)  0 entonces acepto j

Si c(j) – c(i) > 0 entonces acepto j con probabilidad exp [(c(i) – c(j)) /tk]
(en la iteracion k se genera un numero al azar r y se acepta j si r < exp [(c(i) – c(j)) / tk])

En este caso, cada vecino de una solucion tiene una probabilidad positiva de reemplazar a la solucion actual. Los tk se eligen de forma tal que a medida que avanzan las iteraciones, aceptar soluciones con grandes incrementos en el costo es menos probable (pero sigue existiendo una probabilidadpositiva de aceptarlos).

Analogia Fisica

El metodo del recocido se utiliza en la industria para obtener materiales mas resistentes, o mas cristalinos, en general, para mejorar las cualidades de un material.
El proceso consiste en “derretir” el material (calentarlo a muy alta temperatura). En esa situacion, los atomos adquieren una distribucion “azarosa” dentro de la estructura del materialy la energia del sistema es maxima. Luego se hace descender la temperatura muy lentamente por etapas, dejando que en cada una de esas etapas los atomos queden en equilibrio (es decir, que los atomos alcancen una configuracion optima para esa temperatura). Al final del proceso, los atomos forman una estructura cristalina altamente regular, el material alcanza asi una maxima resistencia y la energiadel sistema es minima.
Experimentalmente se comprueba que si la temperatura se hace descender bruscamente o no se espera suficiente tiempo en cada etapa, al final la estructura del material no es la optima.
La rama de la Fisica llamada Mecanica Estadistica se encargo de desarrollar una serie de metodos para estudiar el comportamiento de grandes cantidades de atomos de un sistema. Debido a queen promedio, en un sistema hay 1023 atomos por cm3, solamente puede estudiarse el comportamiento mas probable del sistema en equilibrio a una dada temperatura. La experimentacion mostro que los atomos de un sistema en un proceso de recocido se comportan según el factor de probabilidad de Boltzman. En 1953 Metropolis modelo el proceso de recocido: en cada paso del algoritmo se le da al atomo un...