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Teoremas sobre derivadas

Aunque dada la ecuación de una función es posible obtener su respectiva función derivada utilizando la definición, para algunas funciones este procedimiento resultasumamente tedioso. Surge entonces la necesidad de simplificar este proceso, lo cual puede lograrse al estudiar los teoremas sobre derivadas.



Teorema
La derivada de una función constante escero.
Prueba: Ejercicio para el estudiante.
Ejemplos:

Si entonces
Si entonces
Si entonces


Teorema
Si entonces es derivable sobre y
Prueba: Ejercicio para el estudiante.Ejemplos:






Teorema

Si con y pertenece al conjunto A en el que está bien definida, entonces es derivable en y

Prueba: Al final del capítulo.



Ejemplos:

Sientonces
Si entonces










Teorema
Si la función es derivable sobre un intervalo y es un número real, entonces la función para la que es derivable sobre , además .Prueba: Ejercicio para el estudiante utilizando la definición de derivada de una función.
Este teorema afirma que la derivada del producto de una constante por una función derivable, es igual alproducto de la constante por la derivada de la función.
Ejemplos:

Si entonces
Si entonces





Teorema

Si y son dos funciones derivables sobre un intervalo , entonces la funciónes derivable sobre y además , para .
Prueba: Al final del capítulo.


Se tiene entonces que la derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de cada una de lasfunciones.
También:

donde son funciones derivables sobre un intervalo .
Ejemplos:



1.


2.


3.
Si y son funciones derivables sobre un intervalo entonces la función esderivable sobre , y además para cualquier se tiene que

Ejemplos:



Teorema
Si y son funciones derivables sobre un intervalo entonces la función es derivable sobre , y además para...