Cacaasss

Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
MA1102 Álgebra Lineal, Semestre Primavera 2012 Profesor:

Universidad de Chile Alejandro Maass Auxiliares:

César Vigouroux - Roberto VillaorAuxiliar #7
Martes 01 de Octubre P1. a) Sea X un espacio vectorial y U s.e.v. de X . Pruebe que existe T s.e.v. de X tal que
T ⊕ U = X.

b) Sea X un espacio vectorial y U, V ⊂ X subespacios de X .Pruebe que
dim(U + V ) = dim(U ) + dim(V ) − dim(U ∩ V ).

P2. Considere para n ∈ N el espacio vectorial Pn sobre R de los polinomios de grado n o menor. Sean
W1 = {p ∈ P4 |p(1) + 2p(−1) = 0} W2 = {p∈ P4 |p(x) = a + bx + cx2 + bx3 + ax4 , a, b, c ∈ R}

P3.

a) b) c) d) a)

Pruebe que W1 y W2 son s.e.v. de P4 . Encuentre bases de W1 y W2 . Encuentre una base para W1 ∩ W2 . Calcule la dimensiónde W1 + W2 y concluya que W1 + W2 = P4 . Sean
  a b 0 W = {M ∈ M3×3 (R)|M =  b e c  ∧ a + e + i = 0, a, b, c, e, i ∈ R} 0 c i   0 r s U = {M ∈ M3×3 (R)|M = r 0 0 r, s ∈ R} s 0 0

(a.1)Pruebe que W y U son s.e.v. de M3×3 (R). (a.2) Encuentre bases para W , U , W + U y W ∩ U . (a.3) Observe que W y U son s.e.v. de S = {M ∈ M3×3 (R)|M es simétrica} y complete la base obtenida para W + Ude manera de obtener una base para S . b) Considere        
1 1 2 2 1 −1 1 −1 A = {  ,   ,   ,  } ⊂ R4 0  1  1  2  1 1 3 3

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Facultad de Ciencias Físicas yMatemáticas (b.1) Encuentre una base de A. (b.2) Extienda la base encontrada a una base de R4 . P4. Sea X un e.v. sobre K. Se dene el dual de X por

Universidad de Chile

X = {f : F → K|∀x, y ∈ X, ∀k∈ K : f (x + y) = f (x) + f (y) ∧ f (kx) = kf (x)}

a) Pruebe que X sobre K es un espacio vectorial. b) Pruebe que si dim(X) = n, entonces dim(X ) = n. (Indicación: Considere una base {e1 , ..., en} de X y pruebe que li (x1 e1 + ... + xn en ) = xi para i = 1, ..., n, es base de X .) c) Pruebe la fórmula de la cuadratura: Si t1 ,...,tn+1 ∈ [−1, 1] son valores distintos, entonces existen m1...