Cacac

Colegio Ntra. Sra. del Carmen

Matemáticas II, 2ºBto.

TEMA 2: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

INTRODUCCIÓN-. El concepto de derivada surge como resultado de la necesidad de
encontrar la ecuación de la recta tangente a una curva, obtener los máximos y mínimos de una función o encontrar la velocidad de un móvil que se desplaza con movimiento no uniforme. Estos problemas pertenecen al campo delanálisis llamado Cálculo diferencial, al que contribuyeron grandes aportaciones el físico inglés Isaac Newton (1642-1727) y el matemático y filósofo alemán Gottfried Wilhem Leibniz (1646-1716). Fueron quienes elaboraron procedimientos de cálculo que resolvían los problemas anteriores, con lo que se les apodó “padres del Cálculo diferencial”. En el curso anterior estudiamos la derivada como lavariación (lentitud o rapidez) que experimenta una variable (dependiente) respecto de otra (independiente), así pues, si una función muestra la variación de una variable respecto al tiempo, su derivada mostrará la rapidez con que cambia esa variable a lo largo del tiempo.

1. Tasa de variación media. De forma natural, podemos estudiar la velocidad de cambio de una función y  f (x) (variable dependiente)respecto de una variable independiente x en un intervalo, a través del cociente de incrementos entre ambas variables, al que llamaremos tasa de variación media. Definición 1.1-. Sea una función f (x) y x0  Dom f . Se define tasa de variación media de

f (x) en el intervalo x0 , x0  h como el cociente:

T .V . M x0 , x0  h 

f ( x 0  h)  f ( x 0 ) h
Interpretación geométrica: Suvalor coincide con el valor la pendiente de la recta secante a la función f (x) en los puntos de abcisas x 0 y x0  h .

Observar que si h es muy pequeño (próximo a cero) , obtenemos información más precisa sobre cómo varía la función en el punto de abcisas x 0 .

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2. Tasa de variación instantánea: derivada de una función en unpunto. Cuando reducimos el intervalo de la T.V.M al punto x  x0 ( cuando h tiende a cero) aparece el concepto de tasa de variación instantánea en un punto o, lo que es lo mismo, derivada de una función en un punto. Definición 2.1-. Se define derivada de una función f (x) en un punto de abcisas x  x0 , y se denota f ' ( x) , como el límite:

f ' ( x0 )  lím

h 0

f ( x 0  h)  f ( x 0 ) hSi este límite existe y es un número real, se dice que la función f (x) es derivable en el punto x  x0 , y su valor es el valor de la derivada de f en dicho punto. Otras notaciones:

df ( x0 ) (Leibniz), D f ( x0 ) (Cauchy). dx
x en x  1.

Ejemplo 2.1-. Hallar la derivada de la función f ( x) 

f ' (1)  lím

h 0

( 1  h  1)( 1  h  1) 1 h  1 f (1  h)  f (1)   lím lím h 0 h 0 h h h( 1  h  1)

 lím

1 h 1 h( 1  h  1)

h 0

  lím

h h ( 1  h  1)

h 0

 lím

1 1 h 1

h 0



1 1 0 1



1 . 2

Ejercicio 2.2-. Hallar, a partir de la definición, la derivada de la función f ( x)  punto x  0 .

2 en el x 1
2

3. Interpretación geométrica de la derivada. Dada una función f (x) derivable en un punto x  x0 ,veamos el sentido geométrico de la derivada de f en x  x0 , f ' ( x0 ) . Tomamos dos puntos de la función f : P( x0 , f ( x0 )) y Q( x0  h, f ( x0  h)). La tasa

de variación media en el intervalo x0 , x0  h coincide con la pendiente de la recta secante a la curva de f (x) que pasa por P y Q:

T .V . M x0 , x0  h 

f ( x 0  h)  f ( x 0 )  tg  h
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Lo que ocurre es: Cuando h  0 , la recta secante se convierte en la recta tangente a la curva en el punto P, y por tanto, la pendiente de la recta secante en la pendiente de la recta tangente.

f ' ( x0 )  lím
por tanto,

h 0

f ( x 0  h)  f ( x 0 )  lím tg   tg  h 0 h

“La derivada de una función f en un punto x  x0 , es la pendiente de la...