Cadenas_de_Markov_Parte_2
Páginas: 9 (2090 palabras)
Publicado: 11 de octubre de 2015
Cadenas de Markov
Parte 2
Investigación de Operaciones II
Ing. Fernando Alvarez
Aux. Walter Fajardo
Ya vimos como armar nuestra matriz de transición, esta matriz nos representa la
probabilidad de cambio de un estado a otro (que un alumno de la universidad
apruebe el año), o que no cambie de estado (que un alumno de la universidad repita
el año).
Existen dos tipos de matrices:
• MatrizAbsorbente
• Matriz No Absorbente
Matriz No Absorbente
• Existe la posibilidad de pasar de un
estado a cualquier otro o bien quedarse
en el mismo estado. Para poder
identificar este tipo de matrices
debemos ver la diagonal principal, esta
no deberá tener ni un solo 100%
(numero 1)
• Existe la probabilidad en régimen
transitorio.
• Existe la probabilidad de un estado
estable (a la larga).
E1
E2
E3
E4E1
0
½
0
½
E2
0
⅔
0
⅓
E3
⅓
0
⅓
⅓
E4
⅕
⅕
⅕
⅖
Probabilidad de Régimen transitorio
= matriz de transición
P
= Distribución de probabilidad Inicial
(vector de 1xm, donde m es el numero de filas de P, se considera
como las condiciones iniciales del problema)
o bien
Tomaremos como ejemplo el problema del hombre que
puede tomar tren o carro para ir a trabajar.
Tenemos la matrizinicial como:
P=
Tren
Carro
Tren
0
1
Carro
0.50
0.50
Consideremos que el hombre toma el tren el día
de hoy, tendríamos una probabilidad inicial de =
(1 , 0), el hombre o toma tren o carro, pero no
puede tomar ambos el mismo día, por lo que se
sabe que si toma tren será de = (1 , 0), y si toma
carro será de = (0 , 1)
queremos saber cual será la probabilidad al día
Si
siguienteusaremos: , donde n será el día en el que
queremos saber las probabilidades. En este caso
empezaremos con el día 1 (1 día después de iniciado
nuestro ejercicio)
Distribución de
probabilidad inicial.
Probabilidad que
tome carro
Probabilidad que
tome tren
*
0
1
0.50
0.50
=
0
1
0.50
0.50
0
1
0.50
0.50
Distribución de
probabilidad que
tome tren o carro
un día después
Vector deprobabilidad inicial, con este
vector asumimos que el hombre toma
tren al inicio del ejercicio. Si tomara
carro seria (0 , 1)
*
El nuevo vector de probabilidad inicial
para la siguiente iteración (siguiente día
o bien día 2 en este ejemplo), será el
resultado de la iteración inmediata
anterior (el dia inmediato anterior)
*
=
=
*
*
*
0
1
0.50
0.50
0
10.50
0.50
0
1
0.50
0.50
6 días después existe una probabilidad
de 34.4% de tomar tren y 65.6% de
tomar carro.
=
Podemos ver que 4 días después existe
una probabilidad de 34.4% de tomar tren
y 65.6% de tomar carro.
=
=
5 días después existe una probabilid
de 34.4% de tomar tren y 65.6% de
tomar carro.
Podemos
hacer esto de otra forma, si queremos saber cual es la
distribuciónde probabilidad para después de seis pasos (días),
usamos , donde nuevamente P es nuestra matriz de transición y
usaremos nuevamente n=6 (por ser el valor que andamos
buscando, este numero puede ser desde 1 hasta infinito), si
fuera para después de 7 pasos, elevamos a la 7ma potencia, si
fuera para después de 8 pasos, elevamos a la 8va potencia, etc.
Elevaremos la matriz P a la sexta potenciay la multiplicaremos
por nuestro vector de probabilidad inicial (asumiendo que el
señor toma tren el primer día). Obtenemos:
[ ]
*
*
0
1
0.50
0.50
0.34
0.66
0.33
0.67
6
Como podemos ver, el
resultado es igual al de
la diapositiva anterior.
Probabilidad de estado estable (a la larga)
El objetivo de esta propiedad es encontrar cual es el punto
en el que ladistribución de probabilidades se hace
constante, en otras palabras, en que momento la variación
de las probabilidades es mínima o nula.
Si retomamos el problema del hombre que toma carro o tren para el
trabajo tenemos que para el día 6:
*
*
*
0
1
0.50
0.50
0
1
0.50
0.50
0
1
0.50
0.50
=
=
=
*
*
*
*
*
0
1
0.50
0.50
0
1
0.50...
Parte 2
Investigación de Operaciones II
Ing. Fernando Alvarez
Aux. Walter Fajardo
Ya vimos como armar nuestra matriz de transición, esta matriz nos representa la
probabilidad de cambio de un estado a otro (que un alumno de la universidad
apruebe el año), o que no cambie de estado (que un alumno de la universidad repita
el año).
Existen dos tipos de matrices:
• MatrizAbsorbente
• Matriz No Absorbente
Matriz No Absorbente
• Existe la posibilidad de pasar de un
estado a cualquier otro o bien quedarse
en el mismo estado. Para poder
identificar este tipo de matrices
debemos ver la diagonal principal, esta
no deberá tener ni un solo 100%
(numero 1)
• Existe la probabilidad en régimen
transitorio.
• Existe la probabilidad de un estado
estable (a la larga).
E1
E2
E3
E4E1
0
½
0
½
E2
0
⅔
0
⅓
E3
⅓
0
⅓
⅓
E4
⅕
⅕
⅕
⅖
Probabilidad de Régimen transitorio
= matriz de transición
P
= Distribución de probabilidad Inicial
(vector de 1xm, donde m es el numero de filas de P, se considera
como las condiciones iniciales del problema)
o bien
Tomaremos como ejemplo el problema del hombre que
puede tomar tren o carro para ir a trabajar.
Tenemos la matrizinicial como:
P=
Tren
Carro
Tren
0
1
Carro
0.50
0.50
Consideremos que el hombre toma el tren el día
de hoy, tendríamos una probabilidad inicial de =
(1 , 0), el hombre o toma tren o carro, pero no
puede tomar ambos el mismo día, por lo que se
sabe que si toma tren será de = (1 , 0), y si toma
carro será de = (0 , 1)
queremos saber cual será la probabilidad al día
Si
siguienteusaremos: , donde n será el día en el que
queremos saber las probabilidades. En este caso
empezaremos con el día 1 (1 día después de iniciado
nuestro ejercicio)
Distribución de
probabilidad inicial.
Probabilidad que
tome carro
Probabilidad que
tome tren
*
0
1
0.50
0.50
=
0
1
0.50
0.50
0
1
0.50
0.50
Distribución de
probabilidad que
tome tren o carro
un día después
Vector deprobabilidad inicial, con este
vector asumimos que el hombre toma
tren al inicio del ejercicio. Si tomara
carro seria (0 , 1)
*
El nuevo vector de probabilidad inicial
para la siguiente iteración (siguiente día
o bien día 2 en este ejemplo), será el
resultado de la iteración inmediata
anterior (el dia inmediato anterior)
*
=
=
*
*
*
0
1
0.50
0.50
0
10.50
0.50
0
1
0.50
0.50
6 días después existe una probabilidad
de 34.4% de tomar tren y 65.6% de
tomar carro.
=
Podemos ver que 4 días después existe
una probabilidad de 34.4% de tomar tren
y 65.6% de tomar carro.
=
=
5 días después existe una probabilid
de 34.4% de tomar tren y 65.6% de
tomar carro.
Podemos
hacer esto de otra forma, si queremos saber cual es la
distribuciónde probabilidad para después de seis pasos (días),
usamos , donde nuevamente P es nuestra matriz de transición y
usaremos nuevamente n=6 (por ser el valor que andamos
buscando, este numero puede ser desde 1 hasta infinito), si
fuera para después de 7 pasos, elevamos a la 7ma potencia, si
fuera para después de 8 pasos, elevamos a la 8va potencia, etc.
Elevaremos la matriz P a la sexta potenciay la multiplicaremos
por nuestro vector de probabilidad inicial (asumiendo que el
señor toma tren el primer día). Obtenemos:
[ ]
*
*
0
1
0.50
0.50
0.34
0.66
0.33
0.67
6
Como podemos ver, el
resultado es igual al de
la diapositiva anterior.
Probabilidad de estado estable (a la larga)
El objetivo de esta propiedad es encontrar cual es el punto
en el que ladistribución de probabilidades se hace
constante, en otras palabras, en que momento la variación
de las probabilidades es mínima o nula.
Si retomamos el problema del hombre que toma carro o tren para el
trabajo tenemos que para el día 6:
*
*
*
0
1
0.50
0.50
0
1
0.50
0.50
0
1
0.50
0.50
=
=
=
*
*
*
*
*
0
1
0.50
0.50
0
1
0.50...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.