cadenas de markov


1. En un pueblo, al 90% de los días soleados, le siguen días soleados, y al 80% de los días nublados le siguen días nublados. Con esta información modelar el clima del pueblo con una cadena de Markov.





2. El ascensor de un edificio con bajo y dos pisos realiza viajes de uno a otro piso. El piso en el que finaliza el viaje n-esimo del ascensor sigue una cadena de Markov. Se sabe quela mitad de los viajes que parten del bajo se dirigen a cada uno de los otros pisos, mientras que si un viaje comienza en el primer piso, solo el 25% de las veces finaliza en el segundo. Por ultimo, si un trayecto comienza en el segundo piso, siempre finaliza en el bajo. Se pide:
a. Calcular la matriz de probabilidades de transición de la cadena.
b. Dibujar el grafo asociado.
c. ¿Cuál es laprobabilidad de que, a largo plazo, el ascensor se encuentre en cada uno de los tres pisos?
a) Los estados de la cadena los denotaremos por { 0, 1 , 2} haciendo
corresponder el 0 al bajo y 1 y 2 al primer y segundo piso respectivamente.
Las probabilidades de transición son:
p00 = P(Rn=0 / Rn-1=0), esto es la probabilidad de que el ascensor se encuentre en
la planta baja si en la etapa anteriorestaba en la planta baja. Obviamente es 0,
porque se supone que de etapa a etapa el ascensor se mueve.
p01 = P(Rn=1 / Rn-1=0), esto es la probabilidad de que el ascensor se encuentre en
la planta primera si en la etapa anterior estaba en la planta baja. Obviamente es
½. Basta leer el enunciado.
Y así sucesivamente vamos obteniendo las distintas probabilidades de transición
cuya matriz es:b)

c) q P q. = , siendo q = (x,y,z) los valores de las probabilidades pedidas, añadiendo
la ecuación x+y+z = 1

( 4x – 3y – 4z= 0
X – 2y = 0
2x + y – 4z = 0
X + y + z = 0

Soluciones: x= 8/17 ; y= 4/17; z= 5/17













3. Un agente comercial realiza su trabajo en tres ciudades A, B y C. Para evitar desplazamientos innecesarios esta todo el día en la mismaciudad y allí pernocta, desplazándose a otra ciudad al día siguiente, si no tiene suficiente trabajo. Después de estar trabajando un día en C, la probabilidad de tener que seguir trabajando en ella al día siguiente es 0.4, la de tener que viajar a B es 0.4 y la de tener que ir a A es 0.2. Si el viajante duerme un día en B, con probabilidad de un 20% tendrá que seguir trabajando en la misma ciudad aldía siguiente, en el 60% de los casos viajara a C, mientras que ira a A con probabilidad de 0.2. Por ultimo si el agente comercial trabaja todo un día en A, permanecerá en esa misma ciudad, al día siguiente, con una probabilidad 0.1, ira a B con una probabilidad de 0.3 y a C con una probabilidad de 0.6:
a. Si hoy el viajante esta en C, ¿Cuál es la probabilidad de que también tenga que trabajaren C al cabo de cuatro días?
b. ¿Cuáles son los porcentajes de días en los que el agente comercial esta en cada una de las tres ciudades?


a)
La matriz de transición P es la siguiente para el orden A,B,C

0.18.0.48 + 0.30.0.48 + 0.52.0.52 = 0.5008

b)
Nos piden las probabilidades estacionarias. Para ello hay que resolver el siguiente sistema:

Desarrollando resulta el sistema deecuaciones lineales:
-9x + 2y + 2z = 0
3x – 8y + 4z = 0
6x + 6y – 6z = 0
X + y + z = 1

elimino y en las dos primeras: -33x+12z = 0, y elimino y en las dos últimas : 12z=6 ; de ambas se deduce que x =2/11=0,1818, y = 7/22=0.3181, z = 0,5.
En porcentajes serían el 18,18% para la ciudad A, el 31,81 para B y el 50% para
la ciudad C.


4. Suponga que toda la industria de refresco producedos colas: Coca cola y Pepsi Cola. Cuando una persona ha comprado Coca Cola hay una probabilidad de 90% de que siga comprándola la vez siguiente. Si una persona compro Pepsi, hay 80% de que repita la vez siguiente. Se pide:
a) Si una persona actualmente es comprador de Pepsi, ¿Cuál es la probabilidad de que compre Coca Cola pasadas dos compras a partir de ahora?
b) Si en la actualidad una...