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Procesos Químicos II

Unidad nº4-b Métodos matemáticos de optimización no restringida Búsqueda multivariable
La optimización de funciones objetivo multivariables no lineales necesita el empleo de técnicas robustas y eficientes. La eficiencia es importante debido a que estos problemas requieren procedimientos de solución iterativos, la robustez es una propiedad deseable debido a que predecir elcomportamiento de funciones no lineales y de varias variables es imposible. Estos métodos tienen como objetivo determinar puntos x*= [x1, x2, x3…xn] que minimicen a f(x1, x2, x3…) ≡ f(x) Prácticamente para todos los métodos existe una estructura fundamental. El algoritmo comienza desde un punto inicial (x0), a continuación se determina, mediante una regla, una dirección de movimiento (sk), y sesigue en esa dirección hasta llegar a un mínimo (relativo) de la función objetivo sobre esa recta. En ese nuevo punto se determina una nueva dirección utilizando la misma regla anterior y se repite el proceso, la búsqueda finaliza cuando se cumple con un criterio de convergencia. Como se puede suponer la diferencia entre los métodos radica en la regla mediante la cual se selecciona la dirección demovimiento en cada paso del algoritmo. Los métodos pueden ser clasificados en tres categorías, basándonos en la información que debe ser suministrada por el usuario: ♣ Métodos de búsqueda directa: los cuales utilizan solo valores de la función objetivo. ♣ Métodos de gradiente, aquellos que requieren valores exactos de la primera derivada de la función objetivo. ♣ Métodos de segundo orden, utilizanla segunda derivada de la función objetivo. Los dos últimos métodos son los denominados métodos de búsqueda indirecta. Búsqueda random Búsqueda en una grilla Método simplex Método de las direcciones conjugadas Método de Powell 1. Método del gradiente Métodos de 1er orden 2. Método del gradiente conjugado 1. Método de newton Métodos de 2do orden 2. Método de la secante 1. 2. 3. 4. 5.

Métodosdirectos

Métodos indirectos

Métodos de búsqueda directa Para la aplicación de estos métodos solamente es necesario conocer el valor de la función objetivo en cualquier punto del espacio y no necesitamos ninguna hipótesis adicional acerca de la diferenciabilidad de la función. Podemos emplear estos métodos, bien cuando el gradiente de la función, ∇f (x), no exista, no sea conocido o simplementeporque su expresión es demasiado compleja para poder manejarlo con eficacia. Para el desarrollo de estos métodos supondremos que f(x) es continua y además unimodal.

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Procesos Químicos II 1. Búsqueda random Tal como el nombre lo indica, este método evalúa la función repetidamente en los valores de las variables independientes seleccionados al azar. Si se realizan un número suficiente deevaluaciones de la función objetivo, eventualmente, se localizará el óptimo. Éste método selecciona un vector inicial, se evalúa luego la función en dicho punto, y se determina aleatoriamente un nuevo punto. En efecto en este método se eligen simultáneamente una dirección de búsqueda y un tamaño de paso. Después de una o más etapas el valor de f(xk) se compara con el mejor valor de f(x) y se decidecontinuar o finalizar la búsqueda. Es un método ineficiente, pero puede ser útil para proveer un punto de partida para otros métodos. 2. Búsqueda en una grilla En éste método se evalúan una serie de puntos alrededor de un punto de referencia, según un diseño determinado. El punto de referencia para la segunda iteración de este método será aquel que da el mejor valor de función objetivo, repitiendode esta manera el procedimiento de búsqueda.

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Procesos Químicos II 3. Búsqueda univariable Este método consiste en elegir n direcciones fijas de búsqueda, usualmente los ejes coordenados, para una función objetivo de n variables. Luego f(x) es minimizada en cada dirección secuencialmente, utilizando una búsqueda usando unidimensional. Este método funciona bien cuando las curvas de nivel...