Cai da Libre del Wilson

2.4 Ecuaciones de cinemática (aceleración constante)

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2.4 Ecuaciones de cinemática (aceleración constante)
OBJETIVOS: a) Explicar las ecuaciones de cinemática para aceleración constante y b) aplicarlas a situaciones físicas.
Sólo necesitamos tres ecuaciones básicas para describir los movimientos en una dimensión con aceleración constante. En las secciones anteriores vimos que esas ecuacionesson:

x = xo + vt

(2.3)

v + vo
2

(sólo aceleración constante)

(2.9)

v = vo + at

(sólo aceleración constante)

(2.8)

v =

(Cabe señalar que la primera ecuación, ecuación 2.3, es general y no está limitada a situaciones de aceleración constante, como las otras dos ecuaciones.)
Sin embargo, como vimos en el ejemplo 2.5, la descripción del movimiento en
algunos casos requiere aplicar varias detales ecuaciones, lo cual quizá no sea evidente al principio. Sería útil reducir el número de operaciones que deben efectuarse
para resolver problemas de cinemática, y podemos lograrlo combinando ecuaciones
algebraicamente.
Por ejemplo, suponga que queremos una expresión que dé la ubicación x en términos del tiempo y la aceleración, y no en términos del tiempo ni de la velocidad media
(como en laecuación 2.3). Podemos eliminar v de la ecuación 2.3 sustituyendo v de
la ecuación 2.9 en la ecuación 2.3:

x = xo + vt
y

x = xo + 12 1v + vo2t

(sólo aceleración constante)

(2.10)

Entonces, al sustituir v de la ecuación 2.8, obtenemos

Al simplificar,

x = xo + 12 1vo + at + vo2t
x = xo + vo t + 12 at2

(sólo aceleración constante)

(2.11)

En esencia, realizamos esta serie de pasos en elejemplo 2.5. La ecuación combinada
permite calcular directamente la distancia recorrida por la lancha de ese ejemplo:

Exploración 2.4 Determine x(t) de un
Monster Truck

x - xo = ¢x = vo t + 12 at2 = 0 + 12 13.0 m>s2218.0 s22 = 96 m

Es mucho más fácil, ¿no?
Quizá deseamos una expresión que dé la velocidad en función de la posición x, no
del tiempo (como en la ecuación 2.8). Podemos eliminar t de laecuación 2.8 usando la
ecuación 2.10 en la forma

v + vo = 2

1x - xo2
t

Entonces, al multiplicar esta ecuación por la ecuación 2.8 en la forma (v Ϫ vo) ϭ at
tenemos

1v + vo21v - vo2 = 2a1x - xo2

y utilizando la relación v 2 - v 2o = 1v + vo21v - vo2, para obtener

v2 = v2o + 2a1x - xo2

(sólo aceleración constante)

(2.12)

Nota: ⌬x ϭ x Ϫ xo es desplazamiento, pero con xo ϭ 0, como
suele ser,⌬x ϭ x, y el valor de
la posición x es el mismo que el
del desplazamiento. Esto nos
ahorra tener que escribir siempre
⌬x ϭ x Ϫ xo.

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CAPÍTULO 2 Cinemática: descripción del movimiento

Sugerencia para resolver problemas
Ilustración 2.4 Aceleración constante
y medición

Los estudiantes de cursos de introducción a la física a veces se sienten abrumados por
las diversas ecuaciones de cinemática. Nohay que olvidar que las ecuaciones y las matemáticas son las herramientas de la física. Todo mecánico o carpintero sabe que las
herramientas facilitan el trabajo en la medida en que uno las conoce y sabe usarlas.
Lo mismo sucede con las herramientas de la física.
Si resumimos las ecuaciones para movimiento rectilíneo con aceleración constante
tenemos:
v = vo + at
1
2 1v

(2.8)
+ vo2t

(2.10)

x =xo + vo t + 12 at2

(2.11)

2

+ 2a1x - xo2

(2.12)

x = xo +
v =

v2o

Este conjunto de ecuaciones se utiliza para resolver la mayoría de los problemas de
cinemática. (Ocasionalmente, nos interesará una rapidez o una velocidad media
pero, como ya señalamos, en general los promedios no nos dicen mucho.)
Observe que todas las ecuaciones de la lista tienen cuatro o cinco variables. Es precisoconocer todas las variables de una ecuación, menos una, para calcular lo que nos
interesa. Por lo común elegimos una ecuación con la incógnita o la cantidad que se
busca. Pero, como señalamos, hay que conocer las otras variables de la ecuación. Si no
es así, entonces se habrá elegido la ecuación incorrecta y deberá utilizarse otra ecuación para encontrar la variable. (Otra posibilidad es que no se...