Caida Libre

´ APENDICE A M´todo de m´ e ınimos cuadrados

En un experimento t´ ıpico que envuelve la medici´n de varios valores de dos variables o f´ ısicas es investigar la funcionalidad entre las dos variables. En t´rminos generales, e sea la variable de entrada x y la variable de salida y, por simplicidad, las dos est´n a relacionadas linealmente y que la incertidumbre en la medici´n de x es mucho menoro que la respectiva incertidumbre en y, e. d.: y[x] = a + bx (A.1)

donde la pendiente b y el intercepto a son par´metros que deben determinarse mediante a un criterio. La fig. A.1 muestra la situaci´n a estudiar. o Cuando se hace una serie de medidas del tip descrito, se puede preguntar: 1. ¿C´mo elegir ((la mejor recta)) que ajuste una serie de datos experimentales? o 2. ¿Con qu´ exactitud sedeterminan el intercepto a y la pendiente b? e El m´todo anal´ e ıtico de encontrar la mejor l´ ınea recta que ajuste una serie de datos ´ experimentales se denomina regresion lineal o m´todo de m´ e ınimos cuadrados e e ısticos. y la exactitud de determinar a y b es a trav´s de m´todos estad´ La regresi´n lineal consiste en suponer que la incertidumbre en una de las mediciones o o de lasvariables es despreciable frente a la otra. Esta suposici´n es razonable ya que las incertidumbres en una de las variables a menudo son mayores que en la otra y, por tanto, se pueden ignorar.Tambi´n se asume que las incertidumbres en una de las e variables son todas del mismo orden, lo cual es razonable en muchos experimentos,pero no necesariamente cierta. Sea la variable x la que tiene incertidumbredespreciable y a o las mediciones de cada yi est´n gobernadas por la distribuci´n (??), con el mismo par´metro σy para todas las mediciones. a Si se conoce las constantes a y b,para cualquier valor dado de xi (que se ha asumido no tiene incertidumbre), se puede calcular el valor verdadero de la correspondiente ti , (valor verdadero de yi) = a + bxi C-1

´ ´ APENDICE A. METODO DE M´ INIMOS CUADRADOSy

C-2

pendiente b

y[x]

yi a

yi − y[xi ]

xi

x

Figura A.1: Gr´fico de datos asociados a un modelo lineal. La cantidad yi − y[xi ] representa a la desviaci´n de cada observaci´n de yi respecto del valor predicho por el modelo yi [xi ]. o o

La desviaci´n entre el i-´simo valor experimental yi [xi ] y la respectiva ordenada a + bxi o e en la supuesta recta de ajuste es: δyi =yi − (a + bxi ), con i = 1, 2, . . . , n (A.2)

Entre todas las posibles rectas de intercepto a y pendiente b que ajusta a la serie de datos experiemtnales, se escoge aquella para la cual tiene lugar el siguiente criterio: La suma de los cuadrados de las desviaciones δyi debe ser m´ ınima, es decir,
n

(δyi )2 = m´ ın
i=1

Teniendo en cuenta la relaci´n (A.2): o
n

(yi − a − bxi )2 =m´ ın
i=1

La condici´n de existencia del m´ o ınimo de esta expresi´n exige que sus derivadas paro ciales con respecto a los par´metros a y b se anulen, es decir: a ∂ ∂a
n

(yi − a − bxi )
i=1

2

=0

;

∂ ∂b

n

(yi − a − bxi )2
i=1

=0

Al realizar la operaci´n indicada, se obtiene o
n n

(yi − a − bxi ) = 0
i=1

;
i=1

(yi − a − bxi )xi = 0

Estas dosecuaciones pueden ser reescritas como ecuaciones simultaneas lineales para a y b: an + b xi = yi ; a xi + b x2 = xi yi i

´ ´ APENDICE A. METODO DE M´ INIMOS CUADRADOS donde se ha omitido los l´ ımites i = 1 a n en los signos de la sumatoria en la escritura de las ecuaciones. La soluci´n de este sistema es: o 2 xi yi − xi (xi yi ) a= n x2 − ( xi )2 i b= n xi yi − xi yi n x2 − ( xi )2 i

C-3 , porcomodidad (A.3)

(A.4)

De esta manera se encuentra el intercepto y la pendiente de la recta que minimiza la suma (δyi)2 . Del an´lisis estad´ a ıstico, la incertidumbre en y es: (yi − a − bxi )2 n pero este estimativo no es correcto porque los n´ meros a y b son los valores verdadeu ros desconocidos. En la pr´ctica, estos n´ meros deben reemplazarse por los mejores a u estimativos dados por...