Caida Libre

CIRCUITOS
1. Estudios de transitorios de circuitos.
a.- Circuito resistivo-inductivo serie.

La forma general de un circuito RL serie bajo alteración de tensión es la siguiente:

La respuesta a esta alteración de tensión será una corriente i que producirá sobre la resistencia y sobre la inductancia sendas caídas de tensión tensión, las cuales vendrán dadas respectivamente por:
Vr = i .R
Vr = i . R


Vl = L. di
dt

Vl = L. di
dt

Si aplicamos la segunda ley de kirchoff, tendremos que el valor instantáneo de la tensión en función del tiempo será:
V = i . R + L. di
dt

V = i . R + L. di
dt

En esta última expresión observamos:

1.- La respuesta a la transición depende de una ecuacióndiferencial lineal de primer orden y donde este viene dado por la cantidad de elementos reactivos del circuito.

2.- Debido a que hay una alteración v, la ecuación es no homogénea lo cual dificulta su resolución.

2.- Circuito R L sin alteracion con condiciones iniciales no nulas.

Este caso es denominado: régimen natural
Partimos del siguiente circuito:

Luego de un tiempo prolongado defuncionamiento circulará una corriente Io como se indica en el circuito. En un determinado instante que designamos con t =0 se abre la llave l, de forma tal que en la bobina se cumplirá:

t = 0 entonces i = Io

Bajo estas condiciones estudiaremos como varía la corriente i en función del tiempo a través del circuito que contiene a la resistencia R.
El circuito, queda así librado a laúnica acción de la energía concentrada en el campo magnético de la bobina la cual retorna al circuito disipándose progresivamente en el resistor.

Del párrafo anterior sabemos que:

V = i . R + L. di
dt

V = i . R + L. di
dt

Pero en este caso v = 0, por lo tanto:
0 = i . R + L. di
dt

0 = i . R + L. didt

Esta última ecuación diferencial es lineal de primer orden y homogénea, la cual puede resolverse separando diferenciales, o sea, se procede como sigue:
i . R = - L. di
dt

ln i = -R . t + k
L
i . R = - L. di
dt

ln i = -R . t + k
L

El valor de la constante K de integración, lo obtenemos aplicando ala última expresión las condiciones iniciales, es decir:

t = 0 entonces i = Io por lo tanto

ln Io = K

valor este que remplazando en la expresión anterior, nos da:

ln i = - R . t + ln Io
L

operando en esta última expresión obtenemos:

ln i - ln Io = - R . t
L

de donde:

i / Io = e –(R/L) t

i / Io = e –(R/L) t3.- Circuito R L serie con excitación escalón y condiciones iniciales nulas.

Partimos como siempre de la expresión:
V(t) = i . R + L di / dt

V(t) = i . R + L di / dt



Siendo nuestro circuito el siguiente:

Esta última expresión, es una expresión diferencial no homogénea, lineal de primer orden, la cual para resolverla requerirá una previa separación devariables tal cual se indica en las operaciones que haremos.
V - i . R = L . di / dt

I . R - v = - L . di / dt

I - v/R = - (l/R) . di / dt por tanto dt = - (L/R) . di /( i - v/R)
integrando ambos miembros:
t = - (L/R) . ln ( i – v/R ) + K (1)

Resta ahora aplicar las condiciones iniciales, es decir:

para t = 0 i = 0

y con estodeterminar K:

0 = - (L/R) . ln (-v/R) + K por tanto K = (L/R) . ln (-v/R)

reemplazando el valor de K en ( 1 ):

t = - (L/R). ln ( i – v/R ) + (L/R) . ln (-v/R)

t = - (L/R). ln ( i – v/R ) + (L/R) . ln (-v/R)


4.- Circuito R L serie con excitación escalón y condiciones iniciales no nulas

Este es el caso para el cual:
en t = 0 entonces i = +/- Io...