Caida libre

Análisis Matemático

Para poder comprobar de manera experimental la relación exacta entre longitud y período en la oscilación del péndulo, se realizó el análisis del diagrama de cuerpo libre, que se explica en la figura siguiente:

Figura Nº1



Figura Nº1 diagrama de cuerpo libre de un péndulo simple, Vásquez, O. (2010).

Al realizar la sumatoria de fuerzas de la figura Nº1, yhaciendo uso del segundo principio de Newton, Laroze, L (1995)

∑▒F_t =m×a_t
F_t=Fuerzas tangenciales al movimiento
m=masa del péndulo
a_(t )=aceleración tangencial
La única fuerza tangencial a la trayectoria de la masa del péndulo es la componente tangencial del peso de dicha masa, y al expresarlo en una ecuación resulta de la siguiente manera:
mgsenθ=mLα
g=aceleración de gravedad
L=largo delpéndulo
α=aceleración angular
θ=ángulo de desfase respecto a la vertical

Despejando α queda:

α=-g/L senθ
Para ángulos pequeños senθ≈θ, entonces:
α=-g/L θ=-ω^2 θ
ω=2π/T=√(g/L)
T=2π/ω
T=2π√(L/g)

ω=velocidad angular del péndulo
T=período

La ecuación que representa la línea de tendencia del gráfico Nº1, es la siguiente:
T=1,9778×L^0,5034

Si se expresa:
T=2π/√g×L^□0,5α=2π/√g y β=0,5
Entonces:
T=α×L^β

Luego:

α experimental=1,9778
β experimental=0,5034
Por lo antes mencionado, se demuestra que las ecuaciones tanto empíricas como teóricas se comportan de manera similar. Al ser las ecuaciones de la forma mostrada anteriormente, se puede decir que el período (T) es directamente proporcional a la raíz cuadrada del largo (√L).

T∝√L ó T/√L=α

Siendoconstante α señalado con anterioridad.

Análisis gráfico

Del gráfico Nº1, se puede observar que la pendiente es siempre positiva, por lo tanto la función presentada es estrictamente creciente en el intervalo [0,∞┤[ , y si observamos que T (L), entonces cuando largo tienda a infinito el período también.

〖lim〗┬(L→∞)⁡〖T=∞〗

Al analizar el comportamiento de la pendiente, se puede deducir que alincrementar el valor de L (largo), la pendiente disminuye, ya que cada vez la curva es más horizontal.
Por tanto la taza de crecimiento de ambas variables se comportan de manera diferente, pues la taza de crecimiento del largo es mayor que la del período.

Análisis de errores porcentuales

La diferencia en cada valor teórico y empírico, se puede deber a una serie de factores externos, comola medición, toma de datos, o errores instrumentales entre otras variables.
A continuación se detallará el porcentaje de error de cada variable respecto a la posible causa.
Al tomar α experimental se obtuvo un valor de 1,9778, y de manera teórica el valor debería ser 2,0080 calculando este con g=9,794[m/s^2 ]. En relación a lo anterior es posible afirmar que estos valores son muy aproximados.Por lo tanto el error porcentual es:
Eα%≈1,50

Cuya causa principal se puede presumir por las variaciones de la aceleración de gravedad (g).
Siendo:
α=2π/√g

Por otra parte, se puede calcular g reemplazando α por el valor obtenido empíricamente:
1,9778= 2π/√g
Lo que resulta:
g=10,0920 [m/s^2 ], en consecuencia se deduce un error porcentual de:
Eg%≈3,00

Las posibles causas deésta variación, se pueden atribuir a un error humano al tomar las medidas y el tiempo entre otras causas externas, tomando en consideración que éste es un sistema no ideal, lo que implica el efecto del roce que puede interferir en el movimiento del péndulo.
Por otro lado, el coeficiente que varía teórica y empíricamente es β, ya que su valor experimental fue 0,5034, y teóricamente debiese ser0,5000, sin embargo la variación no mostrada no fue significativa, pues posee un error porcentual de 0,6%. Tal resultado es posible atribuirlo a errores al momento de precisar los valores de las variables, en definitiva llevar a cabo el experimento mediante la utilización de instrumentales que ya poseen una incertidumbre.
Al comparar los valores obtenidos de la relación en la ecuación de...