Cal1 Libro con solucionario de pr cticas y ex menes pasados

P

´
´
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA
DEL PERU

C

´ lculo 1
Ca

PU

Soluci´
on de Pr´
acticas y Ex´
amenes

Elton Barrantes
Iris Flores

Jos´e Flores

Lima-Per´
u
2013

BARRANTES, E.
FLORES, I.
FLORES, J.

1. Funciones reales de variable real

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1

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C

2. L´ımites ycontinuidad
2.1. Limites por definici´on . . . .
2.2. L´ımites laterales . . . . . . .
2.3. C´alculo de l´ımites . . . . . .
2.4. L´ımites infinitos y al infinito

P

Contenido

PU

3. Derivadas
3.1. Definici´on de Derivada . . . . .
3.2. Teorema del cero intermedio . .
3.3. Diferenciabilidad y continuidad
3.4. C´alculo de derivadas . . . . . .
3.5. Derivada impl´ıcita . . . . . . .
3.6. Raz´on decambio . . . . . . . .
3.7. Derivada de orden superior . . .
3.8. Regla de L’Hˆopital . . . . . . .
3.9. Diferenciales . . . . . . . . . . .
3.10. Extremos absolutos . . . . . . .
3.11. Teorema de Rolle . . . . . . . .
3.12. Aplicaciones de la derivada . . .

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15
15
24
27
41

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56
56
61
63
70
82
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115
117
118

BARRANTES, E.
FLORES, I.
FLORES, J.

1. Dadas las funciones f y g definidas por
f (x) = 4x − 4 , x ≤ 3

y

P

Cap´ıtulo 1:
Funciones reales de variable real

g(x) = 2x + 2 , x ≥ −3.

C

Encuentre el dominio, el rango y grafique la funci´on f /g.

P.C.1-2009-1

Soluci´
onRegla de correspondencia

PU

f
4
(x) = 2 −
; −3 ≤ x ≤ 3 , x = −1.
g
x+1

f
g

=] − ∞, 1] ∪ [4, +∞[.
f
Gr´afica de .
g

Ran

2. Dada la funci´on f definida por



 4x − 3 ,
f (x) =
−5
,


2x + 1 ,

x<2
x=2
x > 2.

BARRANTES, E.
FLORES, I.
FLORES,
P.C.2(1a)-2009-1.J.

Grafique f e indique para qu´e valores de x tal que x = 2 se cumple que
4 < f (x) < 6.

Soluci´
on
A partir del gr´afico, si x ∈

75
,
− {2}, entonces 4 < f (x) < 6.
4 2
1

E. Barrantes, I. Flores, J. Flores

P

2

3.

C

Figura 1.1:

a) Analice si la siguiente afirmaci´on es verdadera o falsa: Si f y g son dos
funciones decrecientes, entonces f ◦g es creciente. Justifique su respuesta.
b) Demuestre que la funci´on f definida por

PU

f (x) = 3 − 2

1
x−1
2

es decreciente.

E.P(2)-2009-1.

Soluci´
on

a) Si f y g sonfunciones decrecientes, entonces para x1 < x2 se tiene g(x1 ) >
g(x2 ), y si y1 < y2 entonces f (y1 ) > f (y2 ).
Haciendo y1 = g(x1 ) y y2 = g(x2 ) se tiene:
x1 < x2 ⇒ g(x2 ) < g(x1 )

BARRANTES, E.
FLORES, I.
Por lo tanto, la afirmaci´on es verdadera.
b) El dominio de f es Dom(f ) = [2, +∞[.
FLORES, J.
⇒ f (g(x1 )) < f (g(x2 )).

Sean x1 , x2 dos n´
umeros en el dominio de f , tal que si 2 ≤ x1 < x2entonces
3−2

1
x1 − 1 > 3 − 2
2

1
x2 − 1
2

3

P

1. Funciones reales de variable real

C

Figura 1.2: Gr´afica de f .

es decir f (x1 ) > f (x2 ). Por lo tanto, f es decreciente.

4. Sea y = f (x) una funci´on decreciente. Pruebe usando la definici´on que la
funci´on
g(x) = x3 + f (−x)

PU

es creciente.

P.C.1(4b)-2009-2.

Soluci´
on
Por ser f decreciente, si x1 < x2 entonces f (−x1 ) < f (−x2), luego g(x1 ) <
g(x2 ). Por lo tanto g es creciente.

5. En una esfera de radio R se circunscribe un cono circular recto cuya base tiene
radio r y su altura es h.

BARRANTES, E.
b) Halle el ´area de la superficie total del cono en t´erminos
de r.
FLORES,
I.
FLORES,
J.
P.C.1(5)-2009-1.

a) Exprese el volumen del cono como funci´on de su altura.

Soluci´
on

E. Barrantes, I. Flores, J. Flores...