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VECTORES EN DOS DIMENSIONES


Vectores

Un vector fijo  es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).
Un vector fijo es nulo cuando el origen y su extremo coinciden.
Módulo del vector 
Es la longitud del segmento AB, se representa por .
Dirección del vector 
Es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.
Sentidodel vector 
El que va del origen A al extremo B.


Vectores equipolentes

Dos vectores son equipolentes cuando tienen igualmódulo, dirección y sentido.
Vector libre


El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Cada vector fijo es un representante delvector libre.
Vector de posición de un punto en el plano de coordenadas
El vector  que une el origen decoordenadas O con un punto P se llama vector de posición del punto P.
Coordenadas de un vector en el plano
Si las coordenadas de A y B son:

Las coordenadas o componentes del vector  son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

Módulo de un vector
Si las coordenadas de A y B son:

Las coordenadas o componentes del vector  son las coordenadas del extremo menos lascoordenadas del origen.

Si tenemos las componentes de un vector:


Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos.


Vector unitario
Los vectores unitarios tienen de módulo la unidad.


Suma de vectores

Para sumar dos vectores libres  y  se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo finalde uno coincida con el extremo origen del otro vector.


Regla del paralelogramo 
Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.
Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.




Resta de vectores
Para restar dos vectoreslibres  y  se suma  con el opuesto de . Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.


Producto de un número por un vector
El producto de un número k por un vector  es otro vector:
De igual dirección que el vector .
Del mismo sentido que el vector  si k es positivo.
De sentido contrario del vector  si k es negativo.
De módulo 
Las componentes del vectorresultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.




Coordenadas del punto medio de un segmento
Las coordenadas del punto medio de un segmento son la semisuma de las coordenadas de los extremos.





Condición para qué tres puntos estén alineados
Los puntos A (x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3) están alineados siempre que los vectores  tengan la misma dirección. Estoocurre cuando sus coordenadas son proporcionales.

Simétrico de un punto respecto de otro
Si A' es el simétrico de A respecto de M, entonces M es el punto medio del segmento AA'. Por lo que se verificará igualdad:

Coordenadas del baricentro

Baricentro o centro de gravedad de un triángulo es el punto de intersección de sus medianas.
Las coordenadas del baricentro son:



División de unsegmento en una relación dada
Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, están en la relación r:
                   
                    

VECTORES EN TRES DIMENSIONES

VECTORES EN EL ESPACIO

Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicularen el origen de coordenadas a los ejes X e Y.
Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z).

Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ e YZ. Estos planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes, en el primer octante las tres coordenadas son positivas.
Vector en el espacio
Un vector en el espacio es cualquier segmento...