Cal4

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERU
Estudios Generales Ciencias
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CALCULO 4
Integral de l´
ınea
Hoja de ejercicios No 4
Per´
ıodo 2012-1
→

1. En cada uno de los siguientescasos determinar el dominio del campo vectorial F y
averiguar si es conservativo en dicho conjunto, en caso que lo sea hallar su funci´n
o
potencial.
→
→
2
2
a) F (x, y ) = (x2 + 2xy, xy − x)
b)F (x, y ) = − (x+y+1 2 , (x+x+1 2
y +1)
y +1)
→

→

c) F (x, y ) = (2xey + y, x2 ey + x − 2y )

d) F (x, y ) =

→

√−y

x

→

e) F (x, y, z ) = (x, ey sen z, ey cos z )

f ) F (x,y, z ) =

−2xy − 2xy 2 x2 + 2x2 y − y 2
,
(x2 − y )2
(x2 − y )2
une los puntos A(−2, 2) y B (2, 2).
→

2. Sea F (x, y ) =

x2 −y 2
1

,√
3

(x2 +y 2 +z 2 ) 2

1
x2 −y 2

(x, y,z )

y Γ una curva regular a trozos que

→

a) Halle el dominio de F .
→

b) ¿F es un campo conservativo?. Si su respuesta es afirmativa indique el conjunto
donde lo es.
→

→

F ·d αpartiendo del punto A.

c) Calcule la integral de l´
ınea de
Γ

3. Probar que cada una de las siguientes integrales de l´
ınea es independiente del camino.
Hallar el valor de la integral a lolargo de una curva que une los puntos A y B dados.
2x sen ydx + (x2 cos − 3y 2 )dy , donde A(−1, 0) y B (5, 1)

a)
Γ

ey cos x dx + ey sen x dy , donde A(0, 3) y B (π, 1)

b)
Γ

ey dx + (xey +ez )dy + (yez − 2e−2z )dz , donde A(−1, 0, 0) y B (1, 1, 1)

c)
Γ

→

4. Dado el campo F (x, y, z ) = (x2 + xy 2 + z, x2 y + y 2 + z, x + y + z 2 ).
→

→

b) ¿Es F un campo conservativo?a) Hallar el domino de F .

→

ıc) Calcular el trabajo que realiza el campo de fuerzas F para mover una part´
1
1
cula desde el punto A(1, 0, 0) hasta el punto B (0, √2 , √2 ) siguiendo lacurva
intersecci´n de las superficies x2 + y 2 + z 2 = 1, z ≥ 0; y = z .
o
→

5. Sean f (x, y ) = sen(x − 2y ) y F =
→

f . Hallar dos curvas Γ1 y Γ2 que no sean
→

→

Γ1

→

F ·d α =...