Calc botella longitud

Tenemos una botella corriente de un refresco

Vamos a encontrar el perímetro de esta
Para esto tomaremos medidas a cada centímetro a esta longitud le conoceremos como ∆X

∆X | Y |
0 | 3 |1 | 3.65 |
2 | 3.9 |
3 | 3.8 |
4 | 3.5 |
5 | 3.4 |
6 | 3 |
7 | 2.9 |
8 | 3 |
9 | 3.5 |
10 | 3.6 |
11 | 3.7 |
∆X | Y |
12 | 3.5 |
13 | 3.5 |
14 | 3.5 |
15 | 3.5 |
16 |3.7 |
17 | 3.3 |
18 | 3 |
19 | 2.5 |
20 | 2 |
21 | 1.6 |
22 | 1.3 |
23 | 1.7 |
24 | 1.7 |


Usamos Excel para obtener lo siguiente

Lo que nos interesa de esto no es el graficosino la función que es la siguiente:
y = -2E-06x6 + 0.0002x5 - 0.0056x4 + 0.0869x3 - 0.6296x2 + 1.8323x + 2.0849

Usamos la formula de Longitud de Arco ab1+ f´ x2 dx
La formula nos quedara de lasiguiente manera:
0241+ (- .000012x5+ .001x4- .0224x3+ .2607x2- 1.2592x+1.8323 )2 dx

Para integrar esta súper dificilísima integral usaremos sustitución trigonométrica en donde tenemos:
a2+u2
Portanto nuestro cambio de variable será:
u=a tg z
du=asecz dz

Donde:
a = 1
u = -.000012x5+ .001x4- .0224x3+ .2607x2- 1.2592x+1.8323

Ahora comenzamos a resolver por medio del proceso yaconocido
a2+(a tg z)2 a sec2z dz
a2+a2tg2z a sec2z dz
a2(1 +tg2z) a sec2z dz
a2sec2z a sec2z dz
asecz a sec2z dz
a2sec3z dz

Aquí se nos complica un poco y tendremos que utilizar integración porpartes:
u dv= u v- v du
Donde:
u = sec z dv = sec² z
du = sec z tan z v = tan z

sec³z dz = sec z* tan z-secz* tan² z dz
sec³z dz = sec z* tan z-secz*(sec2z-1) dz
sec³z dz = sec z*tan z-sec3z-secz) dz
sec³z dz = sec z* tan z-sec3z dz+secz dz
2sec³z dz = sec z* tan z+secz dz
sec³z dz = sec z* tan z+Lnsec z+tan z2+ c
a2sec z* tan z+Lnsec z+tan z2

Usando nuestroteorema de Pitágoras con ayuda de un triangulo rectángulo obtenemos los siguientes datos:

a2a2+u2a* ua+Lna2+u2a+ua 2

Para terminar todo este proceso de integración vamos a devolverlo a su forma...