CalcDifIntgr Unidad1

Unidad 1
Límites

Objetivos

Al inalizar la unidad, el alumno:
• Mostrará la convergencia o divergencia de funciones mediante el criterio
de límite de una función en un punto.
• Calculará límites de funciones aplicando los teoremas correspondientes,
dependiendo de la función que se trate.
• Identiicará cuándo una función tiene límite o no, mediante el análisis de
límites laterales.
• Resolveráejercicios que involucren el límite al ininito de funciones
algebraicas, racionales y trascendentes.

Cálculo diferencial e integral 17

Introducción

L

a idea y el método de los límites de funciones surge en el siglo XIX como una
herramienta para acceder al entendimiento del cálculo y análisis matemático,
desde entonces es considerado un elemento esencial de la matemática. En esta
unidad sepresentará el desarrollo de los límites de funciones de la siguiente manera:
definición de límite, interpretación geométrica, procedimientos para calcular límites,
así como los teoremas involucrados.

Comenzaremos recordando el concepto de función y ofreceremos algunas
nociones básicas sobre las funciones, para dar paso al estudio del límite de una
función y al cálculo de límites de funciones. En estetema la intuición juega un
papel definitivo; así, hemos procurado evitar las formalizaciones rigurosas, pues
formalizar lo que muchas veces es claro intuitivamente, no aporta más claridad.
Las funciones están presentes en la vida cotidiana, a saber: el espacio que recorre
un móvil en función del tiempo, el crecimiento de una planta en función del tiempo,
el costo de cierto papel en función de lacantidad, el aumento o disminución de la
temperatura del agua en función del tiempo, etcétera.
Concepto de función
Definición. Dados dos conjuntos D e I, se dice que f es una función definida en
el conjunto D y tomando valores en el conjunto I cuando a cada elemento de D se le
asigna uno y sólo un elemento de I, y se representa por f: D → I.
El conjunto D recibe indistintamente los nombres deconjunto origen, conjunto
inicial, dominio de la función o campo de existencia de la función, y se representa por
Dom ( f ).
Un elemento cualquiera del conjunto D se representa por la letra x, y es la
variable independiente.
Cada elemento x de D tiene por imagen, mediante la función f, un elemento de
I que se representa por y y es la variable dependiente. Esto se expresa escribiendo
y = f (x).
Elconjunto I es el contradominio o conjunto final y los elementos que son
imagen de algún elemento de D forman el conjunto imagen (Im( f )), rango de la
función o recorrido de la función ( f (D)):
f(D) = { f(x) | x ∈ D}

18 Unidad 1
Función real de variable real
Se llama función real de variable real a toda función definida en un subconjunto
D de los números reales R, tal que a cada elemento x de D lecorresponde uno y sólo
un elemento y de R: se representa f: D → R o x → f (x) = y
Representación de una función
La representación gráfica de una función permite visualizar de un modo claro y
preciso su comportamiento. Una función f asigna a cada número x del conjunto origen
un número y = f (x) del conjunto imagen. Cada par de números (x, f (x)) corresponde
a un punto del plano, que al ser ubicadoen un sistema cartesiano da como resultado
la gráfica de la función.
Operaciones con funciones
Suma de funciones. Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en
un mismo intervalo, se llama suma de ambas funciones y se representa por f + g a la
función definida por ( f +g) (x) = f (x) + g (x)
Resta de funciones. Del mismo modo que se ha definido la suma de
funciones, la resta de dosfunciones reales de variable real f y g se define como
la función: ( f – g) (x) = f (x) – g (x). Para que esto sea posible es necesario que f y g
estén definidas en un mismo intervalo.
Producto de funciones. Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas
en un mismo intervalo, se llama función producto de f y g a la función definida por:
( f • g) (x) = f (x) • g (x)
Cociente de...