Calcul de una variable

C`lcul en una variable real a
Antoni M´ndez e
Dep. F´ ısica/IFAE UAB

1. Preliminars 2. N´meros reals u 3. Funcions d’una variable real 4. Derivada 5. Integral de Riemann 6. Integrals impr`pies o 7. S`ries num`riques e e 8. Successions i s`ries de funcions e

Un aclariment previ i una recomanaci´ o L’aclariment: Aix` no ´s un llibre! S´n uns “apunts de classe”. o e o L’objectiu d’aquestes notes´s evitar que l’alumne dediqui el seu esfor¸ a e c l’aula principalment a copiar el que el professor escriu a la pissarra i pugui dedicar-lo, en canvi, a concentrar-se en els conceptes i els raonaments i, en general, en els comentaris que el professor fa a classe entre f´rmula i f´rmula. o o Le notes contenen alguns exemples, per` pocs. Aquesta ´s una tasca compleo e ment`ria que cal fer a l’aula.a No he seguit la redacci´ habitual d’un llibre de matem`tiques amb definio a cions, teoremes, corolaris, etc. numerats. He intentat una redacci´ m´s lleugera. o e Els teoremes, per`, estan clarament assenyalats i quasi tots demostrats. Utilitzo o el s´ ımbol Q per indicar el final de les demostracions. Les notes estan basades en notes manuscrites pr`vies de la preparaci´ d’aquest e o curs que hatingut successivament els noms M`todes matem`tics II, M`todes e a e matem`tics B, C`lcul en una variable real i, actualment, C`lcul I i C`lcul II, en a a a a els diferents plans d’estudi de F´ ısica. Al llarg d’aquests anys han sofert diverses modificacions i ampliacions. Apart de petites aportacions de “collita pr`pia”, com a text de refer`ncia o e vaig basar-me fonamentalment en el llibre de J.M.Ortega Introducci´ a l’an`lisi o a matem`tica (Manuals de la UAB) i, en menor mesura, en el de R.G. Bartle i a D.R. Sherbert Introducci´n al an´lisis matem´tico de una variable (Limusa). o a a Aquests s´ que s´n llibres! I s´n magn´ ı o o ıfics texts de refer`ncia per a ampliar, e a a completar o aprofundir en els diferents temes de l’an`lisi matem`tica. N‘hi ha molts d’altres amb aparen¸a m´s omenys atractiva, per` els continguts s´n c e o o b`sicament els mateixos. Aix` no obstant, una exploraci´ de la prestatgeria a o o corresponent de la biblioteca pot ser clarificadora. I ara, la recomanaci´: L’aprenentatge es basa sobretot en l’esfor¸ personal o c de qui apr`n, tot i que tamb´ requereix l’esfor¸ de qui ensenya. El rendiment e e c d’aquest doble esfor¸ augmenta si qui vol aprendre esbaralla amb all` que vol c o aprendre. Aix`, en la pr`ctica, vol dir que cal anar a la classe de problemes o a havent fet (o, al menys; habent intentat fer) els problemes, i a la classe de teoria habent llegit les aproximadament dues o tres planes dels “apunts” que es tracten en una classe normal de teoria de 50 minuts. Tant de b` aix` no sigui predicar o o en el desert. Puc donar fe de que seguintaquestes simples regles el rendiment de l’aprenentatge augmenta molt significativament. Agrair´ qualsevol suggeriment de millora d’aquestes notes i, tamb´, la dee e tecci´ d’errors que, tot i que tendeixen assimpt`ticament a zero amb el temps, o o mai acaben de desapar`ixer del tot. e Espero que gaudiu dels “apunts”. Jo m’ho he passat molt b´ fent-los. e Antoni M´ndez e

´ Index
1 PRELIMINARS 1.1S´ ımbols . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Conjunts . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Correspond`ncies . . . . . . . . . . e 1.4 Relacions . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Relacions d’ordre . . . . . . 1.4.2 Relacions d’equival`ncia . . e 1.5 Aplicacions o funcions . . . . . . . 1.6 El conjunt N dels n´meros naturals u 1.7 El principi d’inducci´ . . . . . . . . o 1.8 Sobre els teoremes engeneral . . . 1.9 Els n´meros enters . . . . . . . . . u 1.10 Els n´meros racionals . . . . . . . u 1.11 Grups, anells i cossos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....