Calculando la masa del sol a partir de la velocidad con que se mueve la tierra en su orbita alrededor del sol

La Tierra gira alrededor del Sol en una órbita aproximadamente circular. La distancia entre la Tierra y el Sol es de 1.5 x 108 Km. Si suponemos que la órbita es circular entonces podemos calcular, fácilmente, la distancia que recorre la Tierra en su órbita alrededor del Sol. Este resultado nos servirá para conocer la velocidad con que se mueve la Tierra en su órbita, y conociendo dicha velocidadpodremos “pesar al Sol”, es decir, calcular su masa. a) Calcule la velocidad de la Tierra en su órbita alrededor del Sol. b) Calcule la masa del Sol.

Solución

Para representar los parámetros involucrados en el movimiento de la Tierra alrededor del Sol, consideraremos que M es la masa del Sol, m es la masa de la Tierra, y r es la distancia entre sus centros.

a)A la rapidez con la cual un cuerpo gira se le llama velocidad de rotación. En mecánica la velocidad de un cuerpo esta dada por v = d/t donde d es la distancia recorrida y t el tiempo empleado en recorrer dicha distancia. Suponiendo que la Tierra se mueve en una órbita circular alrededor del Sol, la distancia recorrida por la Tierra equivale al perímetro de la circunferencia descrito por ella. Eltiempo empleado será el utilizado en completar una vuelta alrededor del Sol (un año). Con base en lo anterior tendremos que la velocidad orbital de la Tierra esta dada por

(1)

El radio de la órbita de la Tierra es r = 1.5 x 108 km = 1.5 x 1011 m. El tiempo empleado en dar una vuelta t = 1 año = 3.2 x 107 s.

Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior tenemosque

v = 29 km/s

b) La Tierra en su trayectoria circular experimenta una fuerza centrípeta que por la segunda Ley de Newton (F=ma) esta dada por:

(2)

La fuerza centrípeta Fc es precisamente la fuerza de atracción gravitacional que esta dada por la siguiente ecuación:

(3)

donde G = 6.67 x 10-11 m3 kg-1 s-2
Puesto que estasdos ecuaciones son expresiones diferentes de la misma fuerza F, podemos igualar ambas ecuaciones

(4)

Simplificando esta expresión obtenemos

(5)

Por lo que la masa del Sol, M, estará dada por

(6)

Sustituyendo los valores de r, v y G en la ecuación anterior obtenemos que la masa del Sol es

M = 2 x1030 kg.

2.- Un hoyo negro es una región del espacio-tiempo donde el campo gravitacional es tan intenso que ni siquiera la luz puede escapar de el.
a) Utilizando la ley de la conservación de la energía, calcule el radio que debe tener la Tierra para que sea un hoyo negro. La masa de la Tierra es 5.98 x 1024 kg y su radio es de 6.37 x 106 m.
b) Considerando la rotación dela Tierra sobre su eje (una vuelta por día) y la conservación del momento angular durante “la contracción” de la Tierra hacia un hoyo negro, calcule el radio para el cual se equilibrarían la fuerza centrifuga y la fuerza gravitacional.
c) Compare las respuestas de los incisos anteriores y explique si es posible que la Tierra se convierta en un hoyo negro.

Solución

a) Lavelocidad de escape es la velocidad mínima que debemos suministrar aun cuerpo para que logre vencer el campo gravitatorio de otro. Para que un objeto escape de la Tierra y nunca mas regrese, debe lanzarse con una velocidad mayor que la que se requiere para ponerlo en órbita.
Consideremos una velocidad de escape tal que, cuando a un objeto le imprimimos justamente esta velocidad de escape, este tendrá unavelocidad cero en un punto en el “infinito”, en donde su energía total (ET = E. cinética + E. potencial) será

(7)

Debido a que la energía se tiene que conservar, entonces se requiere que en el momento del lanzamiento

(8)

Donde G es la constante gravitacional cuyo valor es de G = 6.67 x 10-11 m3 kg-1 s-2, es una masa de prueba, M la masa de la...