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La derivada como razón de cambio
El concepto de razón de cambio se refiere a la medida en la cual una variable se modifica con relación a otra. Se trata de la magnitud que compara dos variables a partir de sus unidades de cambio. En caso de que las variables no estén relacionadas, tendrán una razón de cambio igual a cero. La razón de cambio más frecuente es la velocidad, que se calculadividiendo un trayecto recorrido por una unidad de tiempo. Esto quiere decir que la velocidad se entiende a partir del vínculo que se establece entre la distancia y el tiempo. De acuerdo a cómo se modifica la distancia recorrida en el tiempo por el movimiento de un cuerpo, podemos conocer cuál es su velocidad.
CONCEPTOS DE INCREMENTO Y DE RAZÓN DE CAMBIO LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
Conceptos de crecimientoy tasa de cambio, derivada de una función
La derivada de una función es un vector que apunta hacia la dirección donde la función ve un mayor incremento en su valor.
A la luz de la afirmación anterior se puede concluir que la derivada de la función es generalmente cero en algunos mínimos locales o máximos locales dado que en esa posición la función no nota incrementos hacia una dirección enparticular.
En algunos lugares la palabra gradiente también se usa para denotar la derivada de la función.
Sin embargo, esta palabra es más apropiada para la derivada de la función de un vector o para una función con múltiples variables.
El símbolo griego delta, representado como un triángulo es utilizado para mostrar el cambio en el valor de una variable. y significaría un cambio en el valor de y.La pendiente de una línea recta se puede calcular como

La expresión anterior se denomina como cociente de la diferencia. Esto se debe a que representa la diferencia entre dos cocientes.
La tasa o razón de cambio puede ser constante o no. Una tasa de cambio constante es aquella que no cambia durante un período de tiempo.
Supongamos que la tasa de cambio del número de migrantes de los años 1978a 1988 es 2.16 mientras que es de 6.9 desde el año 1988 a 2008.
Así podemos notar que en el ejemplo anterior la tasa de cambio no es constante. En tal situación se puede calcular una tasa de cambio promedio en un intervalo.
Una fórmula general para representar una tasa de cambio promedio en un intervalo sería,

Aquí y es una función en términos de t, representando la ecuación y = f (t). Elintervalo es considerado entre t = a y t = b.
Si la tasa de cambio es constante durante todos los intervalos, entonces tal función es llamada función lineal.
Si la tasa de cambio de una función se calcula sobre un tipo de intervalo o en un punto específico, entonces la llamamos tasa de cambio instantánea.
La tasa de cambio de una función g en un punto x, llamada la razón o tasa instantánea decambio en x es el límite de la tasa promedio de variación de g a lo largo de intervalos cada vez más pequeños alrededor de x.
Como sabemos la variación en la tasa es un cociente de la diferencia, la tasa instantánea de cambio será el límite de esos cocientes.
La tasa de cambio instantánea es popularmente conocida por el nombre de derivada.
No es posible calcular la derivada de una función en algúninstante determinado, por tanto la derivada de una función se calcula sobre un intervalo, aunque este intervalo sea muy pequeño.
Entonces el cálculo de la derivada de una función también se puede hacer mediante el cálculo de la tasa promedio de cambio en intervalos más cortos.
Considere a el tamaño del intervalo, entonces la tasa promedio de variación en el intervalo x + a y x será,
f(x + h) –f(x)/ (x + h) – x que puede ser escrito como, f(x + h) – f(x)/ h
Ahora bien, para determinar el valor exacto de la derivada, tome el límite de la función como h. Por lo cual la derivada de la función se calcula como,
Lim f(x + h) – f(x)/ h h → 0
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INTERPRETACION GEOMETRICA...