Calculo 0

Índice

1 Ejemplo
2 Clasificación
2.1 Relación homogénea
2.2 Relación heterogénea
3 Conceptos previos
3.1 Par ordenado
3.2 Producto cartesiano
3.3 Relación binaria, subconjunto del producto cartesiano
4 Relación binaria homogénea
4.1 Propiedades de las relaciones binarias homogénea
4.1.1 Propiedad reflexiva
4.1.2 Propiedad irreflexiva
4.1.3 Propiedad simétrica
4.1.4Propiedad antisimétrica
4.1.5 Propiedad transitiva
4.1.6 Propiedad total
4.1.7 Relación bien fundada
4.2 Clases de las relaciones binarias homogénea
4.2.1 Relación reflexiva
4.2.2 Relación no reflexiva
4.2.3 Relación de dependencia
4.2.4 Conjunto preordenado
4.2.5 Relación de equivalencia
4.2.6 Conjunto parcialmente ordenado
4.2.7 Orden total
4.2.8 Conjunto bien ordenado5 Relación binaria heterogénea
5.1 Propiedades de las relaciones binarias heterogénea
5.1.1 Condición de existencia de imagen. (ei)
5.1.2 Condición de existencia de origen. (eo)
5.1.3 Condición de unicidad de imagen. (ui)
5.1.4 Condición de unicidad de origen. (uo)
5.1.5 Galería de ejemplos
5.2 Clases de las relaciones binarias heterogénea
5.2.1 Correspondencia unívoca
5.2.2Correspondencia biunívoca
5.2.3 Aplicación
5.2.4 Aplicación inyectiva
5.2.5 Aplicación sobreyectiva
5.2.6 Aplicación biyectiva
6 Propiedades





Relación binaria

En matemáticas, una relación binaria es una relación matemática R entre los elementos de dos conjuntos A y B. Una relación de este tipo se puede representar mediante pares ordenados, :1






Las proposicionessiguientes son correctas para representar una relación binaria :







También puede expresarse:



En notación polaca.



Ejemplo:

◾ Dado el conjunto de los números reales, definimos la relación binaria P (x,y) de los puntos del plano, según la función cuadrática :



◾ Partiendo del conjunto A de los automóviles de una localidad y P de las personas, podemos definir larelación binaria C Conduce, formada por cada automóvil a, y quien lo conduce p:


















Clasificación

La importancia en matemáticas de las relaciones binarias, se debe a que una gran parte de las asociaciones entre elementos de conjuntos, tanto numéricos como no numéricos, se hace de dos en dos elementos, tanto si son elementos de un único conjunto o dedos conjuntos distintos, en el esquema se puede ver algunas estructuras algebraicas o subtipos de relación binaria. Emplearemos este esquema para ver estos casos.





















En primer lugar diferenciamos las relaciones binarias homogéneas de las heterogéneas, en las primeras la relación binaria se establece entre los elementos de un único conjunto, porlo que en realidad lo que determina es su estructura interna, mientras que en las segundas se establecen relaciones entre dos conjuntos distintos, lo que da lugar a operaciones o funciones matemáticas de cálculo, una relación homogénea puede ser tratada como heterogénea con los mismos subtipos, pero no al contrario.










Relación homogénea
Una relación binaria entre dos conjuntosse llama homogénea si estos dos conjuntos son iguales:



Dado que A y B son el mismo conjunto, se suele representar:



O bien




Relación heterogénea
Una relación binaria entre dos conjuntos A y B, se llama heterogénea si A es distinto de B:2



Conceptos previos.

Antes de afrontar el estudio de las relaciones binarias, veamos algunos conceptos que es necesario conocer:Par ordenado

Las partes de un par ordenado son:
Primer conjunto
Primer componente
Segundo conjunto
Segundo componente

Del siguiente par ordenado (a, b) podemos decir que:

a es el primer componente del primer conjunto y;
b como el segundo componente del segundo conjunto. Matemáticamente esto se expresa:


y se lee: El producto de A con B, es el conjunto de los pares ordenados...