Calculo 1 numeros reales

Capítulo 1

LOS NÚMEROS REALES.1.1. Introducción

Los números han estado en nuestras vidas desde antes de nacer. Nuestras madres nos han esperado 36 semanas y desde el momento mismo de nacer somos sometidos a mediciones "3500 gramos y 51 cm". Nuestro nacimiento queda "marcado"por un determinado día y mes en el cual celebramos nuestro çumpleaños". Más adelante, recibimos un número que nosacompañará toda la vida el " RUT" y así podríamos continuar con nuestra relación con los números. Los primeros números que conocemos cuando somos pequeños pertenecen al conjunto de los números naturales que se designa por N que nos sirven para contar. N = {0, 1, 2, 3, 4, .......} con estos números podíamos realizar en los primeros años del colegio dos operaciones "la adición y la multiplicación".Estas operaciones se llaman operaciones binarias y tienen la propiedad de çlausura" es decir la suma de números naturales es un número natural y el producto de números naturales también es un número natural. Sin embargo, no podíamos realizar las operaciones inversas "sustracción y división"para cualquier par de números naturales. Por ejemplo: 20 − 35 = −15 ∈ N ( primer problema) / 25 ÷ 4 = 6, 25 ∈ N(segundo problema) / De allí, entonces surge la necesidad de nuevos conjuntos. Para solucionar el primer problema se tiene el conjunto de los números enteros, que se designa por Z Z = {..... − 4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ....} En el cual es posible realizar las operaciones binarias de adición, sustracción y multiplicación N⊂Z Para solucionar el segundo problema, se tiene el conjunto de númerosracionales, que se designa por Q (números decimales finitos e infinitos periódicos) a Q = { / a, b ∈ Z con b 6= 0} b En este nuevo conjunto podemos realizar las cuatro operaciones fundamentales: adición, sustracción, multiplicación y división. N⊂Z⊂Q

Sin embargo, nuevamente tenemos problema si tratamos de resolver ecuaciones de la forma x2 = a donde a es un número positivo que no es un cuadradoperfecto. No existe ningún número racional que al elevarlo al 1

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2

cuadrado sea igual a 2. De allí la necesidad de contar con un nuevo conjunto , el conjunto de los números irracionales que denotamos por I (números decimales infinitos no periódicos) Entonces ¿cuáles son los números reales? Definimos R = Q ∪ I Si nos fijamos, N⊂Z⊂Q⊂RFigura 1.1 Representación gráfica del conjunto de los números reales

1.2.

Propiedades de los Números Reales

En R se definen dos operaciones binarias: adición (+)y multiplicación (·) que satisfacen los siguientes axiomas: A[1] : ∀x, y : x, y ∈ R A[2] : ∀x, y, z : x, y, z ∈ R (x + y) + z = x + (y + z) ∧ (x · y)z = x(y · z) (propiedad asociativa) A[3] : ∀x, y : x, y ∈ R A[4] : ∀x, y, z : x,y, z ∈ R x + y = y + x ∧ x · y = y · x (propiedad conmutativa) (x + y) · z = x · z + y · z (propiedad distributiva) x + y ∈ R ∧ x · y ∈ R (propiedad de clausura)

A[5] : En R existen dos números distintos 0 y 1 (cero y uno) tales que ∀x : x ∈ R, se tiene x + 0 = 0 + x = x (el 0 es el neutro aditivo) x · 1 = 1 · x = x (el 1 es el neutro multiplicativo) A[6] : ∀x : x ∈ R , existe −x ∈ R tal que x +(−x) = (−x) + x = 0 ( − x es el inverso aditivo de x)

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1 x

3

∀x, x 6= 0,existe

∈ R tal que x· 1 1 1 = · x = 1 ( es el inverso multiplicativo de x) x x x

De estos 6 axiomas se desprenden todas las propiedades fundamentales del álgebra que estudiaste en tus doce años de colegio. Algunas de ellas son: 1. Si x + z = y + zentonces x = y (propiedad de cancelación)

Si x · z = y · z con z 6= 0, entonces x = y 2. Si xy = 0 entonces x = 0 ∨ y = 0 3. x · 0 = 0 4. (−x) · (−y) = xy (−x) · y = x · (−y) = −xy (regla de los signos) Sea R+ el conjunto de todos los números reales positivos. En este conjunto se cumple: A[7] : ∀x : x ∈ R se cumple una y sólo una de las siguientes igualdades: x = 0, x ∈ R+ , − x ∈ R+ A[8] : ∀x,...