calculo 1

Páginas: 184 (45937 palabras) Publicado: 11 de septiembre de 2013
C´lculo I
a

Artemio Gonz´lez L´pez
a
o

Madrid, febrero de 2003

´
Indice general
0. Preliminares

1

1. La recta real
1.1. Concepto de cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Consecuencias de los axiomas de cuerpo . . . . . . . . .
1.2.1. Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Cuerpos ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.Consecuencias de los axiomas de orden . . . . . . . . . .
1.4.1. Relaciones entre ≤ y · . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2. Otras consecuencias de los axiomas de orden . .
1.5. Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1. M´ximo y m´
a
ınimo . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Axioma del supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7. Consecuencias del axiomadel supremo . . . . . . . . . .
1.7.1. La propiedad arquimediana de los n´meros reales
u
1.7.2. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.3. Existencia de ra´
ıces n-´simas . . . . . . . . . . .
e
1.8. Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2. Funciones reales de variable real
2.1. Definici´n. Dominio, imagen y gr´fica. . . . . .
o
a
2.2. Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas
2.3. Composici´n de funciones . . . . . . . . . . . .
o
2.4. Funciones mon´tonas . . . . . . . . . . . . . . .
o
2.5. Logaritmos . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .
2.6. Funciones peri´dicas . . . . . . . . . . . . . . .
o
2.6.1. Funciones trigonom´tricas . . . . . . . .
e
2.7. Operaciones algebraicas con funciones . . . . .

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3. L´
ımites y continuidad
40
3.1. L´
ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.1. L´
ımites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1.2. L´
ımites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

i

´
INDICE GENERAL
3.1.3. Propiedades de los l´
ımites . . . . .
3.2. Continuidad . . . . . . . . .. . . . . . . .
3.2.1. Continuidad en un punto . . . . .
3.2.2. Continuidad en intervalos . . . . .
3.3. Teoremas fundamentales . . . . . . . . . .
3.3.1. Teorema de Bolzano . . . . . . . .
3.3.2. Teorema de los valores intermedios
3.3.3. Teorema de acotaci´n . . . . . . .
o
3.3.4. Existencia de m´ximo y m´
a
ınimo .
3.4. Funciones mon´tonas y continuidad . . .
o

ii

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4. Derivaci´n
o
4.1. Definici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
4.2. C´lculo de derivadas . . . . . . . . . . . . . .
a
4.2.1. Regla de la cadena . . . . . . . . . . .
4.2.2. Derivadas de orden superior . . . . . .
4.2.3. Derivada de la funci´n inversa . . . .
o
4.3. Teoremas de Rolle y del valor medio . . . . .
4.3.1.Crecimiento, decrecimiento y extremos
4.3.2. Teorema de Rolle . . . . . . . . . . . .
4.3.3. Teorema del valor medio . . . . . . . .
4.4. Extremos locales . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5. Reglas de L’Hospital . . . . . . . . . . . . . .
4.6. Convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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locales
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