calculo 1

´s Bello
Universidad Andre
Facultad de Ciencias Exactas
´ ticas
Departamento de Matema

C´
alculo I (FMM033)
Gu´ıa I
N´
umeros Reales
1. AXIOMAS Y PROPIEDADES DE CUERPO
En las siguientes aseveraciones, indique si son verdaderas o falsas. Justifique cada respuesta con un ejemplo o una propiedad. Nota Importante: Si su respuesta frente a una
pregunta del tipo “siempre ocurre tal situaci´on’´es“Verdadera’˜
no basta con encontrar
UN caso donde ocurre la situaci´on, sino se debe mostrar con una f´ormula general que
SIEMPRE ocurre. Del mismo modo, si frente a una pregunta del tipo ”puede ocurrir
tal situaci´on”su respuesta es ”Falsa”, significa que tal situaci´on NUNCA ocurre y
nuevamente no basta con encontrar UN caso donde no ocurre, sino una f´ormula que
indica que NUNCA ocurre.
a) Todo n´umero real posee inverso multiplicativo.
b) Todo n´
umero real posee inverso aditivo.
c) El inverso multiplicativo de 1 es 0.
d ) El inverso multiplicativo de 0 es 1.
e) Si el producto de dos n´
umeros reales es 0, entonces uno de los dos n´
umeros es el
0.
f ) Si el producto de dos n´
umeros reales es 1, entonces uno de los dos n´
umeros es el
1.
g) La suma de dos n´
umeros reales es distinta deambos n´
umeros.
h) Si x2 = y 2 entonces x = y.
i) Dado un real x, siempre es posible encontrar otro real y tal que x ∗ y = 5.
j ) Dado un real x distinto de cero, siempre es posible encontrar otro real y tal que
x · y = 5.
k ) Si x2 = x, entonces x necesariamente es 1.
l ) Existen dos reales x e y tales que x + y = x − y.
A partir de los reales 0 (neutro aditivo) y 1 (neutro multiplicativo),indique la forma
de obtener los siguientes n´
umeros reales.

a) −2. Soluci´on: inverso aditivo de (1 + 1).
b) 0, 25. Soluci´on: inverso multiplicativo de (1 + 1 + 1 + 1).
c) −3, 5.
d ) 5.
e) 2/3.
f ) 32.
g) −0, 1.
h) 10.
umeros reales que se est´a usando:
2. Enuncie la propiedad de los n´
a) 2x + y = y + 2x.
b) c(a + b) = (a + b)c.
c) (x + y) + 5z = x + (y + 5z).
d ) 2(w + x) = 2w + 2x.
e) 3(5x + 1) =15x + 3.
f ) (xy)z = x(yz).
g) (x + a)(x + b) = (x + a)x + (x + a)b.
h) a(x + y + z) = ax + ay + az.
umeros reales para escribir la expresi´on sin par´entesis:
3. Utilice las propiedades de los n´
a) 3(x + y).
b) 8(a − b).
c) 4(2m).
d)
e)

1
(10z).
2
4
(−6y).
3

f ) −2(r + s).
g) − 52 (2x − 4y).
4. Demuestre que si a + b = 0 ∧ a + c = 0, entonces b = c
5. La diferencia de dos numeros reales a y bla escribimos a − b y se define mediante
a + (−b). Demuestre que si x + a = b entonces x = b − a.
6. Demuestre que:
a) a · 0 = 0
b) a(−b) = (−ab) = (−a)b

c) (ab)−1 = a−1 · b−1
7. Decida en cada caso si la desigualdad es verdadera o falsa:
a) −6 < −10.
√
b) 2 > 1, 41.
c)

10
11

<

12
.
13

d ) −π > −3.
e) 8 ≤ 8.
f ) 1, 1 > 1, ¯1.
8. Escriba cada uno de los enunciados en t´erminos dedesigualdades:
a) x es positivo.
b) t es menor que 4.
c) a es mayor que o igual a π.
d ) x es menor que

1
3

y es mayor que −5.

e) La distancia m´axima de p a 3 es 5.
9. Exprese el intervalo en t´erminos de desigualdades y graf´ıquelo:
a) (−3, 0).
b) (2, 8].
c) [2, 8].
d ) [−6, 12 ].
e) [2, 5).
10. Use la relaci´on C = 59 (F − 32) para determinar el intervalo en la escala Fahrenheit que
corresponde a 20 ≤C ≤ 30.
11. ¿A qu´e rango de temperatura en la escala Celsius corresponde el intervalo 50 ≤ F ≤ 95
?
12. Al elevarse el aire seco se expande y al hacerlo se enfr´ıa a una tasa de aproximadamente
1◦ C por cada 100 metros de altura, hasta aproximadamente 12 km.
a) Si la temperatura a nivel de suelo es de 20◦ C, escriba una f´ormula para ´esta a
una altitud h.
b) ¿Qu´e rango de temperatura puedeesperarse si un aeroplano despega y alcanza
una altura m´axima de 5 km?

13. Se estima que el costo anual de conducir un nuevo automovil est´a dado por la f´ormula:
C = 0, 35m + 2, 200
donde m representa las millas conducidas por a˜
no y C el costo en d´olares. Jane ha
comprado uno de estos autos y decide gastar anualmente $6, 400 y $7, 100. ¿Cu´al es el
rango en millas que podr´a recorrer?
14....