calculo 2. integrales

Área de una función y el eje de abscisas
1. La función es positiva
Si la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por encima del eje de abscisas. El áreade la función viene dada por:

Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos:
1º Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.
2º El área esigual a la integral definida de la función que tiene como límites de integración los puntos de corte.
Ejemplos
1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 4x − x2 y el eje OX.
Enprimer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración.


En segudo lugar se calcula la integral:

2. Hallar el área de la región delplano encerrada por la curva y = ln x entre el punto de corte con el eje OX y el punto de abscisa x = e.

En primer lugar calculamos el punto de corte con el eje de abscisas.






2. Lafunción es negativa
Si la función es negativa en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por debajo del eje de abscisas. El área de la función viene dada por un viene dada por:Ejemplos
1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = x2 − 4x y el eje OX.





2. Hallar el área limitada por la curva y = cos x y el eje Ox entre π/2 y 3π/2.




3. La funcióntoma valores positivos y negativos
En ese caso el el recinto tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas. Para calcular el área de la función seguiremos los siguientes pasos:
1º Secalculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.
2º Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites de integración.
3º El área es igual a la sumade las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo.
Ejemplos
1. Calcular el área de las regiones del plano limitada por la curva f(x) = x3 − 6x2 + 8x y el eje OX.




El área,...