calculo 2 varias variables

APUNTES DE CLASES

CALCULO II
Ingenier´ Forestal e Ingenier´ en Industrias de la Madera
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Juan Pablo Prieto y Mauricio Vargas
Instituto de Matem´tica y F´
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ısica

c 2004 Universidad de Talca

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Introducci´n
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Estos apuntes representan un esfuerzo por entregar a los alumnos los contenidos del curso
sin necesidad de textos gen´ricos, de esos grandes volumenes de”C´lculo con Geometr´
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Anal´
ıtica”. Todos esos libros, contienen mucho m´s que lo que estos apuntes pretenden. Sin
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duda pueden resultar ser buenos aliados de los estudiantes, pero no siempre representan el
ritmo o intensidad de la asignatura.
Este no es un libro, como su nombre lo indica es un apunte de clases, que intenta presentar
la materia en el orden, profundidad y ritmo que se haestablecido en los semestres que me ha
tocado dictar esta asignatura, desde el a˜o 1999. Cada semestre es una experiencia diferente,
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pero a pesar de esta diversidad, lo tratado intenta darle a los alumnos los elementos b´sicos
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de la integraci´n en varias variables, los elementos iniciales del c´lculo vectorial y apenas
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una pincelada de ecuaciones diferenciales de primer orden.Esperamos en versiones futuras
entregar tambi´n algunos elementos de ecuaciones homog´neas de orden superior.
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Si hay algo importante ausente en estos apuntes, esto es la falta de aplicaciones propias de
las ciencias forestales. Este trabajo pendiente demandar´ de los autores una mayor conexi´n
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con los especialistas del ´rea, de modo de complementar la teor´ con las necesidades m´s
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concretas de la profesi´n.
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Estimados alumnos, estos apuntes se ponen a su disposici´n para ser usados, rayados y
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compartidos. La clase ser´ m´s f´cil de seguir con estos apuntes a su lado. Dado que estos
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apuntes no pretenden ser definitivos, esperamos enriquecerlos con sus comentarios y cr´
ıticas.
En los Cap´
ıtulos III, IV y V encontrar´n ejercicios que han sido usados endiversas pruebas
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a los largo de los a˜os. Tambi´n, en el ultimo cap´
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ıtulo hemos procurado incorporar pruebas
resueltas, para permitirles aprender a partir de la lectura y reflexi´n de la soluciones.
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Por ultimo, la matem´tica es una ciencia que no se puede apropiar sin una pr´ctica extensiva
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e intensiva. Si hay algo que he aprendido en todos estos a˜os de ense˜anza esque los alumnos
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deben tener la mente abierta, una actitud de claro riesgo, sin temor a errar (lo que se dar´
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en llamar un emprendedor). En el desarrollo de los ejercicios se suelen cometer errores. Al
comenzar a resolver un problema muchas veces no se sabe qu´ herramientas usar, no se sabe
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si se tendr´ ´xito; es este miedo a fallar, tal vez, la m´s grande barrera que se debevencer.
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Indice General

1 Integrales Dobles

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1.1

Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2

Integraci´n sobre rect´ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.3

Integrales Iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.4

Regiones deIntegraci´n
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.5

Integrales dobles sobre regiones de tipo I, II y III . . . . . . . . . . . . . .

19

1.6

Diferencia entre la integral doble y la integral iterada . . . . . . . . . . . . .

22

2 Integrales Dobles en Coordenadas Polares

29

2.1

Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .

29

2.2

Relaci´n entre coordenadas polares y coordenadas cartesianas . . . . . . . .
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31

2.3

Ecuaciones Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.4

Gr´ficos Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.5

Integrales dobles en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . ....