calculo 2

UNIDAD 1. DERIVADAS DE FUNCIONES TRASCENDENTES
Propósitos: Reforzar y extender el conocimiento de la derivada a través del
estudio de la variación de las funciones trigonométricas, logarítmicas y
exponenciales para cubrir situaciones que se modelan con funciones
trascendentes. Retomar las relaciones entre las gráficas de una función y su
derivada.
Sección 1. Derivadas de funcionestrigonométricas
Los aprendizajes que debes obtener al terminar de estudiar esta sección son:
• Analizar las gráficas de las funciones seno y coseno y a partir de ellas,
bosquejar la gráfica de su respectiva derivada.
• Identificar en cada caso la derivada respectiva de las funciones seno y coseno.
• Reconocer que las derivadas de las funciones trigonométricas también
involucran variación periódica.
•Utilizar las derivadas de las funciones seno y coseno, y reglas de derivación
para obtener las derivadas de las funciones tangente, cotangente, secante y
cosecante.
• Utilizar la regla de la cadena para derivar funciones trigonométricas cuyo
argumento es función de x.
Derivada de la función seno.
A continuación te mostramos las gráficas de las funciones sen(x) y cos(x).
Dibuja la derivadade cada una de ellas y gráficamente comprueba que:
a) Si f(x) = senx, entonces f’(x) = cosx
b) Si f(x) = cosx, entonces f’(x) = -senx

También para obtener la derivada de la función f(x) = sen x, se puede utilizar la
definición de derivada, como sigue:
f ( x + h) − f ( x )
f´( x ) = lim
h→0
h
Para hacerlo, además de usar la identidad trigonométrica:
1

sen(x+y) = senx cosy + senycosx
se necesita que recuerdes los siguientes límites, para lo cual te solicitamos
completes las tablas correspondientes y, con ello, compruebes los resultados
indicados:
x

senx
x →0
x

lim

1-cosx
x →0
x

lim

lim senx
x →0

lim cos x
x →0

0.1
0.01
0.001
0.0001
0.00001
0.000001
0.0000001
0

1

0

0

1

Teniendo lo anterior, a continuación encontraremos laderivada de la función
sen(x). Sigue cada uno de los pasos:
sen(x + h) − sen x
sen x cosh + senhcos x − sen x
f '(x) = lim
= lim
h →0
h→0
h
h
factorizando – senx, del primero y tercer términos obtenemos:
− sen x( − cosh+ 1) + senhcos x
f '(x) = lim
h→0
h
luego,
− sen x(1 − cosh)
senhcos x
f '(x) = lim
+ lim
h →0
h →0
h
h
1 − cosh
senh
f '(x) = −senx lim
+ cos x lim
= cosx
h→0
h →0
h
h
Resumiendo:

d(sen x )
= cos x
dx
De lo anterior y por la regla de la cadena, podemos concluir que si u es una
función diferenciable1, entonces:
dsenu
du
= cosu
dx
dx

1

Una función es diferenciable en un intervalo dado abierto si f’(x) existe para toda x en
ese intervalo.

2

Ahora estamos en condiciones de derivar funciones que contengan a la funciónseno.
Ejemplo 1. Encuentra la derivada de g(x) = –5sen (–2x).
d( −5 sen( −2x))
dsen( −2x)
d( −2x)
= −5
= −5cos( −2x)
= 10cos( −2x) .
Solución.
dx
dx
dx
Ejemplo 2. Encuentra la ecuación de la recta tangente a la curva f(x) = sen 2x,
π
cuando x = .
2
Solución. Para determinar la ecuación de la recta tangente, necesitamos su
pendiente y el punto de tangencia. Su pendiente laencontraremos al calcular:
π
f´( ) , lo cual haremos a continuación:
2
dsen(2x)
d(2x)
f '(x) =
= cos(2x)
= 2cos(2x) =2cos2x
dx
dx
Habiendo encontrado la fórmula2 (f’(x) =2cos2x) podemos determinar la pendiente
de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) = sen2x en cada punto de su
gráfica, pasamos a encontrar en particular la pendiente de la recta tangente en el
π π
punto ( ,f( ))2 2
π
π
f´( ) = 2cos (2 ) = 2cosπ =2(–1) = –2
2
2

π
La ordenada, f( ), del punto de tangencia es igual a:
2
π
π
f( ) = sen(2 ) = sen π = 0 .
2
2
Así pues, la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) = sen 2x,
π
π
en el punto ( ,0) es: y - 0 = –2(x – ) , o bien
2
2
2x + y – π = 0.
Ejemplo 3. Encuentra la derivada de la función h(x) =
Solución....