calculo 2

ufeffINTEGRALES: TUTORIA 1


Integrales.

Integral definida.

Definición:

Se llama integral definida de la función f (x) en el intervalo [a, b], y se nota por



Donde a y b son loslímites de integración; a es el límite inferior, y b, el límite superior.

Teorema fundamental del cálculo infinitesimal

Si f es integrable sobre [a, b] y f = F para alguna función F, entoncesEjemplo:
La igualdad



Muestra que la función es una primitiva de la función . Así, por la fórmula de Newton y Leibnitz:




Tabla de integrales. 



Integración por partes.

La fórmula de integración por partes es la siguiente:



Integración por sustitución.

Consiste en el desarrollo de integrales por cambio de variable.

Masadelante realizaremos algunos ejercicios en relaciona este punto.


Ejercicios:

1. Calcular el área de la región encerrada por las graficas de las curvas.

y







2.Encontrar el área total encerrada por las graficas de y .




3. Calcule las siguientes integrales.

3.1

Utilizando integración por sustitución
Sea
.



3.2.

Por sustitución:
Seau=arctang(x) -> , y además x=tang(u)
Así ===
=
sea p=cos(u) -> dp=-sen(u)du

Así = = + c , c

Finalmente se obtiene que: = + c.

3.3.






Quedando finalmente:3.4

Sea



3.5


3.6


3.7
Integrando por partes
Sea



Integrando por partes nuevamente




Reemplazando




4. Sean: (función de demanda), (funciónde oferta). Determine el excedente del consumidor y del productor, bajo equilibrio competitivo. Grafique sus resultados.













En equilibrio competitivo, se cumple: oferta =demanda
Por lo tanto,
De donde se deduce que la cantidad de equilibrio es
(Se descarta la solución negativa).El precio de equilibrio, en consecuencia, es

EC = = =
= =
EP =...