Calculo 2

UNIVERSIDAD SAN MARTIN DE PORRES
FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA

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TRABAJO DE INVESTIGACIÓN
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CALCULO II

ALUMNOS:
Alvarez Rumiche, Criss
Lee Salazar, Carlos Arturo
Lino Gamboa, Sofía
Reyes Herrera, Luis Alonso
Tafur Silva,Dilmer Henilzen
Zapata Leiva, Ivan

DOCENTE:
Cueva Valladolid, Hebeth

FECHA:
02 MAYO 2012








INTEGRALES IMPROPIAS CON LÍMITES INFINITOS

INTEGRALES IMPROPIAS CON LÍMITES INFINITOS

En la definición de una integral definida
abfxdx
Se exigió que el intervalo [a,b] fuese finito. Por su parte, el teorema fundamental de Cálculo, requiere que f sea continua en[a,b]. En esta sección analizaremos aquellas integrales que no satisfacen uno o ambos de los requisitos citados. Son integrales en las que o bien el intervalo de integración es infinito, o la función f tiene una o varias discontinuidades infinitas en el intervalo [a,b]. Tales integrales se llaman integrales impropias. Recordemos que una función tiene una discontinuidad infinita en c si por laderecha o por la izquierda,
limx→cfx=∞ ó limx→cfx=-∞

Definición 1:
Sea: f :I→R , (donde I=[ a, +∞> ) una función integrable en [a,t] para todo t ∈I. Consideramos la función continua.
Ft= a+∞fxdx, t∈I
Se dice que la integral impropia a+∞fxdx es convergente cuando existe y es infinito limt→+∞Ft. Cuando el límite no existe o es infinito, se dice que la integral impropia es divergente.Se escribe:
a+∞fx=dx=limt→+∞atfxdx

Definición 2:
Sea: f :I→R , (donde I= <-∞,b] ) una función integrable en [t,b] para t∈I, consideremos la función continnua Gt= tbfxdx..
Se dice que la integral impropia -∞bfxdx es convergente cuando existe y es finito limt→ ∞G(t), caso contrario se dice que es divergente. Se escribe:
-∞bfx= limt→-∞tbfxdx
Si f fx≥0 la integral impropia -∞bfxdxrepresenta, si es convergente, el área de la región infinita comprendida entre el gráfico de f, el eje X y la recta x=b.

Definición 3:
Si c ∈R, arbitrario y son convergentes las integrales impropias:
-∞∞fxdx=lima→-∞acfxdx+limb→∞cbfxdx
donde c es cualquier número real.
CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA
En cada caso:
Si el límite es finito decimos que la integral impropia converge yque el límite es el valor de la integral impropia
Si el límite no existe, la integral impropia diverge

EJERCICIOS
1. Estudie la convergencia de:

1∞xe-xdx
1∞xe-xdx=limb→∞1bxe-xdx =limb→∞-xe-x-e-x|1b
=limb→∞ -be-b-e-b+e-1+e-1= 2e
=limb→∞-be-b=0; limb→∞e-b=0
xe-xdx= -xe-x+e-xdx=xe-x- e-x
u=x→du=dx
dv=e-xdx→v=e-x

2. Estudie la convergencia de:

-∞∞dx1+x2

-∞∞dx1+x2=-∞0dx1+x2+ 0∞dx1+x2
=limb→-∞-∞0dx1+x2+ limb→∞0∞dx1+x2
dx1+x2= sec2θ1+tg2θdθ= dθ= θ=Arctgx
x=tgθ→dx=sec2θdθ
limb→-∞b0dx1+x2+limb→∞0bdx1+x2= limb→-∞ Arctgx|b0+ limb→∞ Arctgx|0b
= limb→-∞ Arctg0- Arctgb+limb→∞ Arctgb- Arctg0
=--π2+π2
Arctg0=0;Arctg-∞= -π2;Arctg∞=π2
-∞∞dx1+x2=π Escriba aquí la ecuación.
3. Muestre que 0∞e-sxcosaxdx= ss2+a2

limb→∞0be-sxcosaxdx
u=cosax→du= -asenax dx
dv=e-sxdx→v= -1se-sx
e-sxcosaxdx= -1se-sxcosax- ase-sxsenaxdx
u=senax→du=acosax dx
dv= e-sxdx→v= -1se-sx
e-sxcosaxdx= -1se-sxcosax- ase-sxsenaxdx
u=senax→du=acosaxdx
dv=e-sxdx→v=-1se-sx
e-sxcosaxdx= -1se-sxcosax-as{-1se-sxsenaxdx+ase-sxcosaxdx}
=-qse-sxcosax+as2e-sxsenax-a2s2e-sxcosaxdx
1+a2s2e-sxcosaxdx= -1se-sxcosax+as2e-sxsenax
e-sxcosaxdx=s2s2+a2-1se-sxcosax+as2e-sxsenax0∞e-sxcosaxdx=s2s2+a2limb→∞-1se-sxsenax|0b
=-s2s2+a2limb→∞-1se-sbcosab+as2e-sbsenab+1s=s2s2+a2
limb→∞-1se-sbcosab=0; limb→∞as2e-sbcosab=0

4. Calcular -∞+∞11+x2dx, si existe

Para c=0, se tiene :
-∞+∞dx1+x2=-∞0dx1+x2+0+∞dx1+x2

Pero:
a)-∞0dx1+x2=limt→-∞t0dx1+x2
=limt→-∞arctg xt0
=limt→-∞-arctg t
=π2

b)0-∞dx1+x2=limt→+∞0tdx1+x2
=limt→+∞arctg t
=π2
Luego:
-∞+∞dx1+x2=π2+π2=π

Por...